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Analytische Fortsetzung des Logarithmus

Universität / Fachhochschule

Tags: Analytische Fortsetzung, Kreiskette, Logarithmus

Sukomaki aktiv_icon

20:51 Uhr, 15.09.2016

Hallo,

ich möchte die analytische Fortsetzung des komplexen Logarithmus
bestimmen.

(Klaus Jänich, der Autor des Buches "Funktionentheorie" tut das,
indem er die Ableitung des Logarithmus (

\frac{1}{z}

) fortsetzt und dann
die lokale Stammfunktion berechnet.)

Ich benutze dazu eine Kreiskette entlang des Einheitskreises mit
den Mittelpunkten (

z_{k} = e^{\frac{2 π i k}{7}}

)

Ich habe in der i-ten Kreisscheibe die Potenzreihenentwicklung

f_{i} (z) = \sum_{k = 0}^{N} a_{k} (z - z_{i})^{k}

(N = maximaler Exponent der
Potenzreihe)

Durch Umformen bekomme ich daraus die Potenzreihe für die

i + 1

-te Kreisscheibe

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} (z - z_{i + 1})^{k}

mit

b_{k} = \sum_{j = k}^{N} a_{j} (\binom{j}{k}) (z_{i + 1} - z_{i})^{j - k}

Und jetzt meine Frage : Wie bestimme ich die additive Konstante
des

i + 1

-ten Kettengliedes?

Die Fortsetzung des Logarithmus über den negativen Schlitz
hinweg sollte ja eigentlich auf den ersten Nebenzweig

(α = 2 π)

führen.

Tut sie aber nicht. Irgendwie bekomme ich die additive Konstante nicht hin.

Lieben Gruß
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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