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Analytische Geometrie

Schüler Gymnasium,

Tags: Lärmschutzdamm, Lösung

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15:03 Uhr, 31.03.2011

Ich brauche Hilfe für folgende Aufgabe:

Ein Lärmschutzdamm hat die abgebildete Form. Die bahnseitige Böschung kann durch die Ebenengleichung

E 1 : 3 \cdot x + 4 \cdot y - 5 \cdot z = (- 13),

die ortsseitige Böschung wird durch

E 2 : 3 \cdot x + 4 \cdot y + 10 \cdot z = 87

beschrieben, während die Dammkrone in der Ebene

E 3 : z = 5

liegt.

1 .)

Bestimmen Sie die Begrenzungsgeraden

g

und

h

der Wallkrone, das heißt die Schnittgeraden von

E 3

mit

E 1

und

E 2

2 .)

Wie abgebildet steht ein

5 m

hoher Signalmast im Punkt

P (0 | - 4,5 | 0)

. Er ist in

3 m

Höhe durch ein senkrecht zur Böschung gespanntes Seil gesichert. Wie lang ist das Befestigungsseil?

Meine Lösungsansätze:

1 .)

Jeweils ein Punkt der Ebenen

E 1, E 2

und

E 3

ermitteln. Mithilfe der Zweipunktegleichung Geradengleichungen aufstellen.

\to

Hat sich aber als falsch erwiesen...

2 .)

Ortsvektor von Punkt

P

und eines Punktes der Ebene

E 1

und Normalenvektor der Ebene

E 1

ermitteln. Normaleneinheitsvektor berechnen. Mithilfe der Hesse'schen Abstandsformel Abstand berechnen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

irena

15:17 Uhr, 31.03.2011

1.warum setzt du nicht einfach

z = 5

indie ebenengleichungen ein?

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15:18 Uhr, 31.03.2011

Und was dann ?

irena

15:20 Uhr, 31.03.2011

dann hast die geraden

g : 3 x + 4 y = - 38; h : 3 x + 4 y = 37

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15:23 Uhr, 31.03.2011

Oh, okay, danke :-)
Noch ein Tipp für die 2. Aufgabe ?

irena

15:29 Uhr, 31.03.2011

lotfußpunktverfahren

p (0; - 4.5; 3)

und

e 1

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15:29 Uhr, 31.03.2011

Aber wäre

g

nicht dann

g : 3 \cdot x + 4 \cdot y = 12

irena

15:32 Uhr, 31.03.2011

richtig

12,

rechnen ist manchmal schwierig

maxsymca

15:33 Uhr, 31.03.2011

In meiner Welt

R^{3}

sind
g:3x+4y=−38

h : 3 x + 4 y = 37

Ebenen und keine Geraden

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17:36 Uhr, 31.03.2011

Und wie ermittelt man die Geradengleichungen dann?

maxsymca

17:53 Uhr, 31.03.2011

Die Schnittpunkte Von

E 1

und

E 3

müssen beide Gleichungen erfüllen,

d . h

. es ist eine Lösung für das GLS aus

E 1

und

E 3

anzugeben. Dazu ist der Tipp von irena grundsätzlich brauchbar.
Wie berechnest DU die Lösung eines Systems von 2 Gleichungen

E 1, E 3

für gewöhnlich?
Und wie sieht eine Geradengleichung im

R^{3}

denn überhaupt aus?

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17:55 Uhr, 31.03.2011

Heißt also ich muss

E 1

und

E 3

gleichsetzen?

Ich löse ein Gleichungssystem, indem ich es in den Rechner eintippe

\land

Aber wie komm ich drauf ich versteh deinen Ansatz nicht.

maxsymca

17:57 Uhr, 31.03.2011

Ja, Ja...
Wobei das Einsetzen nach irena den gleichen Effekt hat, nur weiter so...

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17:57 Uhr, 31.03.2011

Stimmt, aber ich versteh nicht, was ich dann machen muss.

maxsymca

18:02 Uhr, 31.03.2011

Du hast 2 Gleichungen und 3 Unbekannte

x, y, z

aus

E 3 \to x = 5

E 3 \in E 1 \to 3 \cdot x + 4 \cdot y = 12 \to y = - \frac{- 12 + 3 \cdot x}{4}

und jetzt brauchen wir die Grundform einer Geraden, wie sieht die aus? Dann setzen wir ein, was wir haben...

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18:03 Uhr, 31.03.2011

Zur deiner Frage wegen meine Geradengleichungen aussehen:

g : (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a 1 \\ a 2 \\ a 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} m 1 \\ m 2 \\ m 3 \end{matrix})

a ist in dem Fall der Stützvektor und

m

der Richtungsvektor.

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18:15 Uhr, 31.03.2011

Oh man, ich komm gerade echt nicht mit

. .

irena

18:20 Uhr, 31.03.2011

hallo, du kannst

E 1

umformen in die Parameterform und anschließend in die Ebenengleichung von

E 3

einsetzen so erhälst du die Parameterform der Schnittgeraden

g

maxsymca

18:26 Uhr, 31.03.2011

Jetzt funkte nicht dazwischen, wir machen den Lösungsweg weiter:
Also wir haben

x 3 = z = 5

x2=y=-(−12+3⋅x)/4
über

x

bekommen wir aus dem GLS keine weitere Information, deshalb setzen wir

x 1 = x = r

Damt haben wir alles beisammen und können unsere Ergebnisse in Deine Geradengleichung einsetzen

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18:28 Uhr, 31.03.2011

Und für welchen Vektor ?

maxsymca

18:34 Uhr, 31.03.2011

Ich lese Dir mal die

x

Koordinate Deiner Geradengleichung vor

x 1 = a 1 + r \cdot m 1

wir haben

x 1 = r

ergibt

x 1 = 0 + r \cdot 1

analog für

x 2

und

x 3 . .

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18:37 Uhr, 31.03.2011

Wenn wir

x 1 = r

haben Warum kommt dann

x 1 = 0 + r \cdot 1

raus ?

maxsymca

18:38 Uhr, 31.03.2011

Weil wir keine Konstante in der x-Koordinate haben nur

1 \cdot r

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18:40 Uhr, 31.03.2011

Steht doch aber da ?!
Ich versteh deinen Schritt nicht.

maxsymca

18:43 Uhr, 31.03.2011

Das steht

x 1 = 0 + r \cdot 1

d . h

. die x1-Koordinate des Ortsvektors ist NULL 0 und die x1-Koordinate des Richtungsvektors ist 1

(\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ a 2 \\ a 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ m 2 \\ m 3 \end{matrix})

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18:48 Uhr, 31.03.2011

Ja okay, das versteh ich, aber wie fummel ich das jetzt für

y

auseinander ?

maxsymca

18:50 Uhr, 31.03.2011

Meine Güte, genau so...
Der Faktor bei

r

(was mal

x 1)

gehört dem Richtungsvektor und die Konstante gehört dem Ortsvektor

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18:56 Uhr, 31.03.2011

Entschuldige, dass ich deine Geduld strapaziere.
Ich ermittle aber gerade das erste Mal aus zwei Parametergleichungen für Ebenen eine Schnittgeradengleichung.
Deswegen ist es für mich gerade nicht so leicht und ich wäre dir sehr dankbar, wenn du es etwas genauer erklären würdest.

maxsymca

19:05 Uhr, 31.03.2011

Du ermittelst die Schnittmenge zweier Koordinatengleichungen, Parametergleichungen hammer net.
Ich meine, wenn wir ein mal

x 1

festgelegt haben zu

x 1 = a 1 + r \cdot m 1

und wir berechnet haben, dass

x 1 = r

dann sollte man in der Lage sein zu erkennen, dass

a 1 = 0

und

m 1 = 1

zu sein hat.
Und diese Erkenntnis musst Du auf die

x 2

Koordinate

x 2 = a 2 + r \cdot m 2

mit berechnetem

x 2 =

-(−12+3⋅r)/4
zu übertragen, Meist Du, Du schaffst das?
Versuche vielleicht mal die

x 3

Koordinate, das sollte besonders einfach sein...

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19:10 Uhr, 31.03.2011

Kommt dann

g : x = (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{3}{4} \\ 0 \end{matrix})

raus ?

maxsymca

19:12 Uhr, 31.03.2011

Bingo... :-)
das war der erste Streich
Jetzt noch die Gerade

h

fang mal an, ich stell gleich die Lösung rein!
ACHTUNG, mir ist beim Kopieren ein Minus abhanden gekommen, es muss
y=-(−12+3⋅x)/4
heissen und damit

g : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{3}{4} \\ 0 \end{matrix})

h : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{37}{4} \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{3}{4} \\ 0 \end{matrix})

beachte, dass Parametergeichungen unterschiedlich ausfallen können, je nachdem welche Koordinate Du als Parameter

r

vereinbarst. Die

g, h

für

x = r

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19:16 Uhr, 31.03.2011

Cool :-D)
Ich mach's nen andern Mal weiter, morgen denk ich,
jetzt brauch mein Kopf erst mal Pause :-)

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01:56 Uhr, 01.04.2011

Alternativ ausgehend von

3 x + 4 y = 12

kann man sich auch zwei Punkte mit z-Koordinate 5 überlegen, welche diese Gleichung erfüllen

\to A (0 | 3 | 5)

und

B (4 | 0 | 5)

führen direkt zur Geraden

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

Genauso bei

3 x + 4 y = 37 \to A (11 | 1 | 5)

und

B (- 1 | 10 | 5)

führt zu

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 11 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

Besteht die Aufgabe noch aus weiteren Teilaufgaben oder warum ist links noch dieser Schienenausschnitt zu sehen ?
Ich frage nur weil ich die Aufgabe evtl nächste Woche für ein paar Schüler als Übungsaufgabe nehmen könnte ;-)

irena

08:51 Uhr, 01.04.2011

nachdem der 1.Teil mehrfach ausführlich ( und kompliziert ) gelöst wurde,
kann ich dir weiterhin das Lotfußpunktverfahren mit

P (0; - 4,5; 3)

und

E 1

anbieten:
1. bestimmst du die Lotgerade mit

P

und als Richtungsvektor nimmst du den Normalenvektor von

E 1 :

h:Vektor

x = (0; - 4.5; 3) + r (3,4, - 5)

2. Schnittpunkt

F

von

h

und

E 1 \Rightarrow r

3. Abstand von

P

und

F

mit

d =

|PF|=

\sqrt{{(x_{p} - x_{f})}^{2} + {(y_{p} - y_{f})}^{2} + {(z_{p} - z_{f})}^{2}}

BjBot aktiv_icon

14:05 Uhr, 01.04.2011

Anbieten kannst du es natürlich, aber die Fragestellerin hatte doch schon selbst eine Methode mittels HNF vorgeschlagen, die zudem deutlich unkomplizierter und schneller geht.

Koenigin aktiv_icon

14:35 Uhr, 04.04.2011

Danke euch für die Hilfe.

Koenigin aktiv_icon

14:36 Uhr, 04.04.2011

Danke euch für die Hilfe.

Koenigin aktiv_icon

14:36 Uhr, 04.04.2011

Danke euch für die Hilfe.

svcds aktiv_icon

16:24 Uhr, 31.10.2012

Hi, also ich krieg bei der Lotfußgeraden für r zwei Mal was anderes heraus. Ein Mal 6,1 und ein Mal minus Irgendetwas. Wie rechnet man das denn? Ich kriege 16 m für das Seil heraus, das kann nicht sein.

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