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Analytische Geometrie - Aufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie, Vektor

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14:51 Uhr, 20.09.2012

Hallo zusammen! Ich habe aufgrund eines Krankenhausaufenthaltes die letzte Woche Unterricht verpasst, wir hatten Vektorrechnung. Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

Gegeben sind die Punkte A(3|1|-2) und B(-2|5|3) sowie die Vektoren

\vec{A C} = (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 1 \\ 9 \end{array})

und

\vec{B D} = (\begin{array}{rcl} 5 \\ - 6 \\ - 1 \end{array})

.
a.) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D.
b.) Berechnen Sie die Seitenlängen im Viereck ABCD. Prüfen Sie, ob das Viereck ein Parallelogramm ist.

Muss ich, um die Koordinaten von C zu erhalten, den Punkt A zum Vektor AC addieren? (B +

\vec{B D}

)?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Bummerang

14:58 Uhr, 20.09.2012

Hallo,

benutze die Gleichung (für Vektoren): XY

= 0 Y - 0 X

Die Vektoren

0 X

und

0 Y

sind die sogenannten Ortsvektoren der Punkte

X

und

Y

und sind in der Komponentendarstellung identisch mit den Koordinaten der Punkte

X

und Y.

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15:01 Uhr, 20.09.2012

Das heißt im Prinzip verschiebe ich den Vektor auf die Nullpunkte für X und Y, und bestimme von dort aus C?

Bummerang

15:05 Uhr, 20.09.2012

Hallo,

X

und

Y

sind Variablen für beliebige Vektorbezeichnungen! Es gilt für alle Vektoren, dass sie sich als Differenz der Ortsvektoren der Endpunkte berechnen lassen, wobei die umgekehrte Reihenfolge unbedingt zu beachten ist. Setze in diese Gleichung einfach Deine A und

C

ein und stelle die so entstandene Gleichung nach

0 C

um, denn das ist ja gesucht. Analog machst Du das mit

B

und D.

PS:
"Das heißt im Prinzip verschiebe ich den Vektor auf die Nullpunkte für

X

und

Y,

und bestimme von dort aus C?"
Das habe ich so gar nicht verstanden!

Edddi aktiv_icon

15:13 Uhr, 20.09.2012

. .

. um

C

zu erhalten musst du

A + \vec{A C}

rechnen:

C = A + \vec{A C} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})

analog bei

D

Die Seitenlängen erhälst du aus den Beträgen der Vektoren:

\bar{A B} = | \vec{A B} | = | B - A | = | (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(4)}^{2} + {(5)}^{2}}

Für ein Prallelogramm sollten

\vec{A D} = \vec{B C}

und

\vec{A B} = \vec{D C}

So ist

\vec{A B} = B - A = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

und

\vec{D C} = C - D = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})

. .

. sieht also nicht nach einen Prallelogramm aus.

;-)

Spax94 aktiv_icon

16:45 Uhr, 20.09.2012

Kannst du mir das noch etwas näher erläutern, bzw. eine gute Seite für analytische Geometrie empfehlen? Diese Rechenoperationen werden in unserem Schulbuch leider so gar nicht erklärt...

Spax94 aktiv_icon

16:54 Uhr, 20.09.2012

Ah, hat sich erledigt, ich habs kapiert, man geht bei der Vektorgleichung im Prinzip vom Nullpunkt aus, Ortsvektor und so kommt die zustande... thx:-D)

Spax94 aktiv_icon

19:35 Uhr, 20.09.2012

Obwohl, eine Frage habe ich noch:

Warum heißt es

\vec{D C}

und nicht

\vec{C D}

?
Weil im Umkehrschluss mit der Formel, dann ja eine andere Seitenlänge rauskommen würde.
Also warum hat der Vektor diese Orientierung?
Und müsste für ein Parallelogramm nicht gelten: AB=DC und BD=AC ???

Edddi aktiv_icon

07:00 Uhr, 21.09.2012

...der Vektor hat ja eine Richtung!

Beispiel:

A = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

so ergibt sich für

\vec{A B} = B - A = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

und für

\vec{B A} = A - B = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ - 3 \end{matrix}) = - (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = - \vec{A B}

Für eine Identität müssen die Vektoren in die selbe Richtung zeigen!

Also

z . B

. Vektor A nach

B =

Vektor

D

nach

C

wenn das Parallelogramm umlufend orientiert bezeichnet wäre.

;-)

BjBot aktiv_icon

08:50 Uhr, 21.09.2012

Solche Schreibweisen wie

C = A + \vec{A C} = . .

. oder

\vec{A B} = B - A

sollte man allerdings unbedingt vermeiden.
Nur wenn ein Pfeil drüber steht, spricht man auch von einem Vektor.
Die Großbuchstaben ohne Pfeil sind schon für Punkte reserviert.
Punkte zu addieren oder (noch schlimmer) Punkte mit Vektoren zu verrechnen, das ist nicht definiert.
Auch sowas wie

\vec{B} - \vec{A}

ist nicht vorteilhaft. Für Vektoren nimmt man in der Regel entweder Kleinbuchstaben ODER wenn dann zusammengesetzt durch zwei Großbuchstaben, welche den Anfangs- und Endpunkt des Vektors beschreiben.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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