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Anfangs- Randwertproblem

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Regibo aktiv_icon

16:36 Uhr, 03.12.2019

Hallo! Ich brauche bitte dringend Hilfe bei der Lösung dieses Anfang , Randwertproblems!

y''' - 2 y'' + 3 y' = 0

y (0) = 0

y' (0) = - 4

y (1) = e - e^{3}

Wie fange ich an??? Mir fehlt ein Ansatz

: (

Danke danke für jede Hilfe !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

17:37 Uhr, 03.12.2019

>

Wie fange ich an???
indem du die charakteristische Gleichung

λ^{3} - 2 λ^{2} + 3 λ = 0

löst.

Regibo aktiv_icon

11:41 Uhr, 05.12.2019

Hatte jetzt endlich Zeit mir die Rechnung genau anzusehen.

Lösen von:

λ^{3} - 2 λ^{2} + 3 \cdot λ = 0

λ (λ^{2} - 2 λ + 3) = 0

Eine Lösung ist dann schonmal

λ = 0

λ^{2} - 2 λ + 3 = 0

kann man mit der pq-Formel lösen, aber die Wurzel wird dann negativ, da ist also keine reelle Nullstelle richtig?

Für die Bestimmung habe ich eine Formel gefunden für

y'' + a 1 y' + a 0 y = 0

y (x) = c 1 \cdot e^{α x} \cdot cos (β x) + c 2^{α x} \cdot sin (β x)

α = - \frac{a}{4}

und

β = \sqrt{- (\frac{a^{2}}{4} - a 0)}

Das ergibt mit

a 1 = 2

und

a 0 = 3

α = - \frac{1}{2}

und

β = \sqrt{2}

Und dann einsetzen in

y (x) = c 1 \cdot e^{α} x \cdot cos (β x) + c 2^{α} x \cdot sin (β x)

Ist der Ansatz richtig?

Ich danke euch!

ledum aktiv_icon

12:30 Uhr, 05.12.2019

Hallo
eigentlich hattest du doch

1 . λ = 0

daraus

y = A \cdot e^{0} = A

dann noch

λ = 1 \pm i \cdot \sqrt{2}

gibt die Lösungen für

y = C_{1} \cdot e^{x + i \sqrt{2} \cdot x} + c_{2} \cdot e^{x - i \sqrt{2} \cdot x}

wegen e^(ix)=cosx+isinx
hast du die allgemeine Lösung

y = A + C_{1} e^{x} \cdot sin (\sqrt{2} \cdot x) + C_{2} \cdot e^{x} \cdot cos (\sqrt{2} \cdot x)

da musst du jetzt die Anfangsbedingungen einsetzen um die 3 Konstanten zu bestimmen.
Gruß ledum

Regibo aktiv_icon

15:01 Uhr, 05.12.2019

Hi ledum,
was bringt dich auf

y = A \cdot e^{0} = A

?

Kannst du mir vielleicht auch nochmal genauer sagen wie du die allgemeine Lösung aufgestellt hast? Das habe ich noch nicht so recht durchschaut.

:-)

ledum aktiv_icon

15:59 Uhr, 05.12.2019

Hallo

λ = 0

heisst Lösung const*e^0, aber da

y', y'', y''' = 0

für y=const, kann man das auch direkt sehen!
dein Losungsansatz war ja für eine Dgl 2. ten Grades für

y,

was bei dir y# ist also musst du nochmal integrieren um

y

zu bekommen , dabei bekommst du auch ne integrationskonstante.
Gruß ledum

Regibo aktiv_icon

13:05 Uhr, 06.12.2019

Also das mit der allgemeinen Lösung habe ich jetzt verstanden und habe die Bedingungen eingesetzt:

y = A + C 1 \cdot e^{x} \cdot sin (\sqrt{2} \cdot x) + C 2 \cdot e^{x} \cdot cos (\sqrt{2} \cdot x)

y (0) = 0

0 = A + C 1 \cdot e^{0} \cdot sin (\sqrt{2} \cdot 0) + C 2 \cdot e^{0} \cdot cos (\sqrt{2} \cdot 0) = A + C 2

y (1) = e - e^{3}

e - e^{3} = A + C 1 \cdot e^{1} \cdot sin (\sqrt{2} \cdot 1) + C 2 \cdot e^{1} \cdot cos (\sqrt{2} \cdot 1)

= - e^{- 4} = \frac{A}{e} + C 1 \cdot cos (\sqrt{2}) + C 2 \cdot sin (\sqrt{2})

wie kann man hier weitermachen?

Für die letzte Bedinung habe ich die Ableitung aufgestellt:

y' (x) = C 1 ((e^{x} \cdot cos (\sqrt{2} \cdot x) - e^{x} \cdot (\sqrt{2} \cdot sin (\sqrt{2} \cdot x)) + C 2 ((e^{x} \cdot sin (\sqrt{2} \cdot x) + e^{x} \cdot \sqrt{2} \cdot cos (\sqrt{2} \cdot x))

Stimmt die Ableitung so?

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