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Anfangsbedingungen

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Anfangsbedingungen, Gewöhnliche Differentialgleichungen

frostkrieger aktiv_icon

14:19 Uhr, 07.07.2011

Berechnen sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung

y' \cdot - \frac{1}{x - 2} \cdot y = 2 \cdot {(x - 2)}^{2} x

ungleich 2
zu der Anfangsbedingung

y (0) = 2

.

Also ich habe absolut keine Ahnung was es mit

x

ungleich 2 und dieser Anfangsbedingung auf sich hat. Könnte mir das bitte jemand erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

14:44 Uhr, 07.07.2011

Hallo,

es muß

x \neq 2

sein, weil sonst der Bruch

\frac{1}{x - 2}

in der Differentialgleichung undefiniert wäre.
Wenn man die allgemeine Lösung zu dieser Differentialgleichung bestimmt hat, enthält diese allgemeine Lösung eine Integrationskonstante C. Man bekommt also nicht nur eine Lösung, sondern eine ganze Lösungsschar. Nun soll aus dieser Lösungsschar genau die Lösung ermittelt werden, welche die Anfangsbedingung erfüllt. Dazu muß man also

C

so bestimmen, daß

y (0) = 2

gilt.

Viele Grüße
Yokozuna

frostkrieger aktiv_icon

14:48 Uhr, 07.07.2011

Ahh das hilft mir schonmal weiter ich werd mich mal eben ransetzen und die Allgemeine Lösung bestimmen ich werd mich dann nochmal melden. Danke schonmal :-)

frostkrieger aktiv_icon

17:19 Uhr, 07.07.2011

y' - \frac{1}{x - 2} y = 2 {(x - 2)}^{2}

So also ich denke mir das ich hier erstmal mit Trennung der Variablen weiterkomme. Allerdings hab ich im Script nur BSP. wo ich keine Störfunktion habe.

kann ich also einfach

\frac{1}{x - 2}

auf die Rechte seite bringen, so dass ich

y' y = 2 {(x - 2)}^{2} + \frac{1}{x - 2}

habe? Sry bin nicht so der Mathe pro ich denke mir im hinterkopf nur einfach das man es wahrscheinlich nicht machen darf

\land

Yokozuna aktiv_icon

17:49 Uhr, 07.07.2011

Dein Versuch ist leider nicht richtig.
Ich kann fast nicht glauben, daß ihr Differentialgleichungen lösen sollt und ihr in der Vorlesung nicht gelernt habt, wie das geht.
Hier handelt es sich um eine lineare, inhomogene Differentialgleichung. Wenn man die Störfunktion auf der rechten Seite gleich 0 setzt, hat man die zugehörige homogene Differentialgleichung

y' - \frac{1}{x - 2} \cdot y = 0

Zu dieser homogenen linearen Differentialgleichung sucht man die allgemeine Lösung

y_{h} (z . B

. durch Trennung der Variablen). Nun benötigt man noch eine partikuläre Lösung

y_{p}

der inhomogenen linearen Differentialgleichung. Diese gewinnt man

z . B

. durch Variation der Konstanten aus der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung (hast Du noch nie davon gehört?). Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung erhält man mit

y = y_{h} + y_{p}

Versuche nun erst mal die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung durch Trennung der Variablen zu gewinnen.

Viele Grüße
Yokozuna

frostkrieger aktiv_icon

18:12 Uhr, 07.07.2011

Nunja also wäre das ne DGL 2. Ordnung wäre das einfacher für mich ich muss gestehen ich war in der Vorlesung nicht da.

\land

y' - \frac{1}{x - 2} y = 2 {(x - 2)}^{2}

Also Störfunktion = Null setzen ergibt

y' - \frac{1}{x - 2} y = 0

dann multipliziere ich mit

x - 2

und habe

y' - 1 y = x - 2

So dann hab ich links nur

y

und rechts nur

x

dann soll ich das in dir Form bringen

\frac{d y}{h (y)} = g (x) d x + C

wobei ich nicht weis was

h (y)

und

g (x)

sein sollen.

Yokozuna aktiv_icon

18:21 Uhr, 07.07.2011

Deine Umformungsversuche sind leider auch völlig daneben:

y' - \frac{1}{x - 2} \cdot y = 0 \Rightarrow

y' = \frac{1}{x - 2} \cdot y \Rightarrow

\frac{y'}{y} = \frac{1}{x - 2} \Rightarrow

\frac{d y}{y} = \frac{d x}{x - 2}

Viele Grüße
Yokozuna

frostkrieger aktiv_icon

18:27 Uhr, 07.07.2011

Ahh ich hab glaub was gefunden

also

y' - 1 y = x - 2

y' = \frac{x - 2}{- 1 y}

dann Bildung Differentialquotient

\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{- 1 y}

dann mal

d x

d y = \frac{x - 2}{- 1 y} \cdot d x

das ganze dann

\cdot - 1 y

- 1 y \cdot d y = (x - 2) d x

dann Integrieren )weis nicht wies integralzeichen geht

\land)

- \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + C

Dann auflösen nach

y

auflösen

y^{2} = {(x - 2)}^{2} + C

y = ({\sqrt{(x - 2)}}^{2} + C

?!?! oder lieg ich da falsch ?

frostkrieger aktiv_icon

18:35 Uhr, 07.07.2011

jettt hab ich natürlich mit meinem falschen ansatz weitergemacht ich mach das mal eben mit deinem.

frostkrieger aktiv_icon

18:49 Uhr, 07.07.2011

Also

y' = \frac{1}{x - 2} \cdot y

Okay also Bildung Differentialquotient

\frac{d y}{y} = \frac{d x}{x - 2}

So wie ich das hier sehe muss ich die Variablen ja nicht mehr Trennen sind ja nur noch

y

links und

x

rechts dann kann ich ja nun Integrieren

\int y = \int (x - 2) \Rightarrow \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + C

ich weis ich hab bestimmt wieder was falsch gemacht

: (

y^{2} = \frac{1}{4} {(x - 2)}^{2} + C \Rightarrow y = \sqrt{\frac{1}{4} {(x - 2)}^{2}} + C

Ich blamier mich bestimmt hier voll xD

michaL aktiv_icon

18:53 Uhr, 07.07.2011

Hallo,

ich weiß, von ad hoc-Lösungen wird nicht viel gehalten, aber ich würde die Gleichung durch

(x - 2)

dividieren und die linke Seite auf gemeinsamen Nenner bringen. Müsste so aussehen:

\frac{y ʹ (x - 2) - y}{(x - 2)^{2}} = 2 (x - 2)

Dann

z := \frac{y}{x - 2}

substituieren.

Damit umgeht man die Variation der Konstanten und findet die Lösungsschar in einem Abwasch.

Mfg MIchael

frostkrieger aktiv_icon

18:57 Uhr, 07.07.2011

danke für deine hilfe aber ad-hoc sagt mir garnix ich mach das lieber so wies im script bei mir steht^^

Yokozuna aktiv_icon

21:35 Uhr, 07.07.2011

Sorry, ich war mal für 3 Stunden weg.
Also die Methode von MichaL hat schon was für sich. Auf diese Weise kann man sich das Leben deutlich leichter machen. Leider ist es nicht immer ganz einfach, so elegante Substitutionen zu finden. Also zurück zur Standardmethode.
Ich hatte ja die Variablen für Dich schon getrennt:

\frac{d y}{y} = \frac{d x}{x - 2}

oder ich schreibe das mal so:

\frac{1}{y} \cdot d y = \frac{1}{x - 2} \cdot d x \Rightarrow

\int \frac{1}{y} \cdot d y = \int \frac{1}{x - 2} \cdot d x

(bei Dir sind die Nenner plötzlich in den Zähler diffundiert und

d x

bzw.

d y

hast Du auch vergessen. Die sind aber wichtig, damit man weiß, nach was für einer Variable man integrieren muß)
So, was ist denn die Stammfunktionen von

\frac{1}{y}

bzw. von

\frac{1}{x - 2}

?

Viele Grüße
Yokozuna

frostkrieger aktiv_icon

21:57 Uhr, 07.07.2011

Kein problem

\land

Also ich hab mich auch nochmal bisschen mit auseinandergesetzt und festgestellt das ich ziemlich gefailed habe
bin jetzt soweit das ich

ln | y | = ln | x - 2 |

habe

nach

y

aufgelöst sollte das

yh

= e^{ln | x - 2 |}

ergeben

so eigentlich müssten sich dann jetzt

e

und

ln

gegenseitig auflösen

und ich habe

yh=x-2

+ C

oder auch wieder falsch ?

Yokozuna aktiv_icon

22:24 Uhr, 07.07.2011

Na, das sieht doch schon viel besser aus. Nur die Integrationskonstante muß man gleich beim Integrieren hinzufügen und nicht erst nach ein paar Umformungen. Also nach der Integration hast Du:

ln | y | = ln | x - 2 | + C_{1} \Rightarrow

y = e^{ln | x - 2 | + C_{1}} = e^{ln | x - 2 |} \cdot e^{C_{1}} = (x - 2) \cdot C

wobei ich

C = e^{C_{1}}

gesetzt habe. Deine Vermutung, daß

e^{ln (a)} = a

ist, war richtig.
So, nun hast Du

y_{h} = C \cdot (x - 2)

Jetzt brauchen wir noch eine partikuläre Lösung

y_{p}

der inhomogenen Differentialgleichung. Sagt Dir "Variation der Konstanten" etwas oder findest Du etwas darüber in Deinem Skript? (so eine wichtige Methode ist da bestimmt beschrieben).

Viele Grüße
Yokozuna

frostkrieger aktiv_icon

22:38 Uhr, 07.07.2011

Ja natürlich steht da was die formalen vorgänge sind da auch beschrieben nur harperts immer am verstehen des formalen. Also bei den dgls 2. ordnung wars so das man die

S (x)

anschauen muss und dann in na Tabelle nachschauen kann welcher allgemeinen form dies entspricht. Hier hatten wir ja als

S (x) = 2 {(x - 2)}^{2}

. Das dürfte nen Polynom sein. Allerdings weis ich nicht ob das hier bei der DGL

1 . O

. auch geht.

Algemeiner Lösungsansatz wäre dann nach meiner Tabelle.......... weis nicht wie ich indizes hier schreibe deswegen lass ichs gleich.

So bei denen 1. Ordnung steht dann jetzt halt noch halt das mit der Variation der Konstanten allerdings weis ich da jetzt nicht wie ich da vorgehen muss.

frostkrieger aktiv_icon

22:51 Uhr, 07.07.2011

Okay hab grad ein wenig geguckt.

Ich soll also in die allgemeine homogene Lösung ein

C (x)

einbauen

wäre dann yh

= C (x) x - 2

das soll ich dann in die dgl einsetzen?

Yokozuna aktiv_icon

22:58 Uhr, 07.07.2011

Die Sache mit den Tabellen ist sehr effizient, funktioniert aber nur bei linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Wenn die Koeffizienten nicht konstant sind, so wie bei dieser Aufgabe, ist die Variation der Konstanten angesagt.
Dein Ansatz ist fast richtig, Du mußt aber noch eine Klammer setzen:

y_{p} = C (x) \cdot (x - 2)

Das muß man in die Differentialgleichung einsetzen. Aber dort brauchen wir auch noch

y_{p}'

. Das mußt Du auch noch ausrechnen. Dazu verwendest Du am besten die Produktregel.

Viele Grüße
Yokozuna

frostkrieger aktiv_icon

23:35 Uhr, 07.07.2011

ja genau das wollt ich machen steht hier auch so.

yp=C(x)(x-2)

y' p = C' (x) \cdot (x - 2) + C (x) \cdot 1

So einsetzen in die DGL ergibt

y' - \frac{1}{x - 2} \cdot y = 2 {(x - 2)}^{2}

y' - \frac{1}{x - 2} \cdot C' (x) \cdot (x - 2) + C (x) \cdot 1 = 2 {(x - 2)}^{2}

So das jetzt nach

C' (x)

auflösen

C' x = 2 \frac{{(x - 2)}^{2}}{y' - (\frac{1}{x - 2})} - C (x)

Ich mach erstmal bis hier her weil ich mir nicht sicher bin obs richtig ist.

Okay nein es war falsch es muss heißen

C' (x) \cdot (x - 2) + C (x) - \frac{1}{x - 2} C (x) \cdot (x - 2) = 2 {(x - 2)}^{2}

Yokozuna aktiv_icon

23:45 Uhr, 07.07.2011

y_{p}'

hast Du richtig berechnet, aber Du hast falsch eingesetzt.

y_{p} = C (x) \cdot (x - 2)

y_{p}' = C' (x) \cdot (x - 2) + C (x)

Jetzt einsetzen in die Differentialgleichung

y_{p}' - \frac{1}{x - 2} \cdot y_{p} = 2 \cdot {(x - 2)}^{2}

ergibt:

C' (x) \cdot (x - 2) + C (x) - \frac{1}{x - 2} \cdot C (x) \cdot (x - 2) = 2 \cdot {(x - 2)}^{2} \Rightarrow

(wegen

\frac{1}{x - 2} \cdot (x - 2) = 1)

C' (x) \cdot (x - 2) + C (x) - C (x) = 2 \cdot {(x - 2)}^{2} \Rightarrow

C' (x) \cdot (x - 2) = 2 \cdot {(x - 2)}^{2} \Rightarrow

C' (x) = 2 \cdot (x - 2)

Jetzt mußt Du nur noch integrieren, um

C (x)

zu erhalten.

Viele Grüße
Yokozuna

frostkrieger aktiv_icon

23:56 Uhr, 07.07.2011

Ja genau das umstellen nach

C' (x)

umstellen und integrieren mache ich morgen.

So da in der aufgabe nach einer speziellen Lösung gesucht wird bin ich doch dann fertig wenn ich die partikuläre habe ?
oder muss ich dann noch yall.=yh+yp rechnen ?

Yokozuna aktiv_icon

00:04 Uhr, 08.07.2011

Ja, Du mußt noch

y = y_{h} + y_{p}

berechnen und dann mußt Du die Konstante

C

so bestimmen, daß die Anfangsbedingung

y (0) = 2

erfüllt ist.

Gute Nacht. Bis morgen
Yokozuna

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