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Anfangsverteilung, Übergangsmatrix

Schüler

Tags: Matrizenrechnung

 
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Josua

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09:16 Uhr, 19.04.2017

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Hallo, habe ein paar Fragen zu einer Aufgabe über das Wechselverhalten von Kunden von Supermärkten. Insbesondere ist mir in Aufgabeteil d) nicht klar, von welcher Ausgangsverteilung auszugehen ist und ob die Lösung von Aufgabeteil d) und e) richtig ist.



Hier die Aufgabe:

Wechselverhalten der Kunden von Supermärkten
in Kleinstadt mit 20.000 Haushalten

von A-B-C
zu A-70%-10% – 10%
zu B-20% – 80%-30%
zu C-10% – 10%-60%

a)....

b) Anfangsverteilung A4.400 Haushalte; B10.600 Haushalte; C5000 Haushalte
Gesucht: Verteilung im Folgemonat:
Mein Ergebnis: A4640;B10860;C4500 (wird wohl richtig sein)

c) Gesucht: Verteilung des Vormonats anhand der Anfangsverteilung in b)
Mein Ergebnis: A4000;B10.000;C6000 (wird wohl richtig sein)

d)Mn mit n≥36:

0,25-0,25-0,25
0,55-0,55-0,55
0,20-0,20-0,20

Fragestellungen:

d)1. Geben Sie die Anzahl der Kunden an, die langfristig in den Supermärkten einkaufen.

Meine Frage:
Geht man hier von der Ausgangsverteilung in b) aus? Wenn ja siehe d)2.


d)2. Interpretieren Sie dieses Ergebnis im Hinblick auf das Kundenverhalten in obiger Kleinstadt bezüglich der Supermärkte A,B und C

Meine Überlegung:

A hat 25% Stammkunden; B55% Stammkunden und C20% Stammkunden

Meine weiteren Überlegungen:

A hat, ausgehend von 4400 Haushalten, die bei A einkaufen, 1100 Stammkunden, 2420 wechseln zu B und 880 zu C.

B hat, ausgehend von 10.600 Haushalten, die bei B einkaufen, 5830 Stammkunden, 2650 wechseln zu A und 2120 zu C.

C hat, ausgehend von 5000 Haushalten, die bei C einkaufen, 1000 Stammkunden, 1250 wechseln zu B und 2750 zu A.

Von 20.000 Haushalten wechseln demnach monatlich 12070 Haushalte den Supermarkt.
Am beliebstetes ist es also, den Supermarkt zu wechseln. B ist der beliebteste Supermarkt gefolgt von A und C.

Allerdings habe ich hier eine Anfangsverteilung aus b) gewählt. Die Ergebnisse aus b) und c) zeigten aber, dass C Kunden verliert, während A und B Kunden gewinnen.


e) Nach einiger Zeit eröffnet eine Supermarkt D. Seine Angebote sind so gut, dass kein Kunde von ihm zu einem anderen Supermarkt wechselt. Von den andern Supermärkten A,B und C wechselt die Hälfte der wechselwilligen Kindschaft jeden Monat zu D.

Bestimmen Sie eine mögliche Übergangsmatrix M, die das Kundenverhalten von jetzt an in der obigen Kleinstadt wiedergibt und begründen Sie ohne Rechnung, welche Kundenverteilung sich langfristig auf die Supermärkte einstellen müsste.


Meine Überlegung

Matrix alt:

von A-B-C
zu A-0,7- 0,1– 0,1
zu B-0,2 –0,8 -0,3
zu C-0,1 –0,1 – 0,6

Matrix neu:

von A – B – C – D
zu A-0,70 – 0,05 – 0,05 – 0
zu B-0,10 – 0,80 – 0,15-0
zu C-0,05 – 0,05 – 0,6-0
zu D-0,15 – 0,15-0,2-1

Da die Hälfte der wechselwilligen Kundschaft jeden Monat zu D wechselt haben die Supermärkte nach einer Zeit nur noch Stammkunden.

Ausgehend von 4770 Kunden die von B zu anderen Supermärkten wechseln:
4770⋅0,5t=1⇔t=12,22

Matrix für n>12 Monate

von A – B – C – D
zu A- 1–0–0–0
zu B- 0–1–0-0
zu C- 0–0–1-0
zu D- 0–0-0-1
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pivot

pivot aktiv_icon

17:13 Uhr, 19.04.2017

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Hallo,

die gegebene Matrix ist gibt schon die stationäre Verteilung wieder.

0,25−0,25−0,25
0,55−0,55−0,55
0,20−0,20−0,20

Langfristig kaufen 25% der Kunden bei A, 55% bei B und 20% bei C ein.

Somit ist die Verteilung der Kunden langfristig.

(4.400+10.600+5000)⋅(0,250,550,2)

=20.000⋅(0,250,550,2)=(5,00011.0004,000)

Jetzt kann man kurz und knapp das Ergebnis interpretieren: Supermarkt A hat im Vergleich zur Anfangsverteilung langfristig netto 600 Kunden mehr. Supermarkt B gewinnt im Vergleich zur Anfangsverteilung netto 400 Kunden. Supermarkt C verliert im Vergleich zur Anfangverteilung netto 1000 Kunden.

Zur Interpretation: Bei Supermarkt A heißt das nicht, dass die 4400 Kunden der Anfangsverteilung bei A bleiben und 600 Kunden von B und C einfach zu A wechseln. Welcher Kunde wann wohin wechselt unterliegt in diesem Modell dem Zufall.

Gruß

pivot
Josua

Josua aktiv_icon

22:41 Uhr, 19.04.2017

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Thanks, von den 5,000 Kunden von A kaufen im nächsten Monat zwar 70% also 3500 dort wieder ein, aber es sind nur nur 25%, also 1250 langfristig Stammkunden? Usw. für B und C? Oder läßt die Matrix Mn keine Rückschlüsse auf Stammkunden zu?

Und die Matrix in Aufgabenteil e) geht wohl auch anders, aber kann man so machen?

Edit:

Ich hab die Matrizen jetzt mal mit sich selbst multipliziert, bis sich nichts mehr ändert.

Aus der Ausgangsmatrix

von A−B−C
zu A−0,7− 0,1– 0,1
zu B−0,2 –0,8 −0,3
zu C−0,1 –0,1 – 0,6

kommt wie zu erwarten

0,25−0,25−0,25
0,55−0,55−0,55
0,20−0,20−0,20

heraus.

Aus

von A – B – C – D
zu A−0,70 – 0,05 – 0,05 –0
zu B−0,10 – 0,80 – 0,15 −0
zu C−0,05 – 0,05 – 0,60 −0
zu D−0,15 – 0,10 − 0,20 −1

kommt

von A – B – C – D
zu A− 0–0–0–0
zu B− 0–0–0-0
zu C− 0–0–0-0
zu D− 1–1-1-1

heraus.

Also geht wohl auch die Ausgangsmatrix davon aus, dass es keine Stammkunden gibt, also alle Kunden von A,B und C auch immer in anderen Supermärkten einkaufen.

Wenn aber jeweils auch nur ein Kunde ausschließlich bei A bzw. B bzw. C einkauft, sähe die Sache am Ende so aus:

von A – B – C – D
zu A− 1–0–0–0
zu B− 0–1–0-0
zu C− 0–0–1-0
zu D− 0–0-0-1


> Insbesondere ist mir in Aufgabeteil d) nicht klar, von welcher Ausgangsverteilung auszugehen ist

Das ist offensichtlich ganz egal. Man bekommt so oder so die stabile Verteilung raus, es müssen halt nur 20.000 Haushalte auf die Supermärkte verteilt werden. Die Rechnung 20.000⋅(0,25 |0,55|0,2)=(5,000|11.000|4,000) ist nur die verkürzte Fassung.

> Und die Matrix in Aufgabenteil e) geht wohl auch anders, aber kann man so machen?

Offensichtlich ja. Eine andere Lösung der Aufgabenstellung wäre z.B.:

von A – B – C – D
zu A−0,70 – 0,03 – 0,10 – 0
zu B−0,05 – 0,80 – 0,10 − 0
zu C−0,10 – 0,07 – 0,60 − 0
zu D−0,15 – 0,10 − 0,20 − 1
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