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Anfangswertproblem 2ter Ordnung

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Mittelpunktmethode, Runge-Kutta

Chica-Rabiosa aktiv_icon

08:03 Uhr, 10.07.2016

Guten Morgen,

gegeben ist folgendes Anfangswertproblem 2. Ordnung:

t^{2} y'' - t y' + 2 y - t^{2} ln (t) = 0

mit den Anfangswerten

y (t = 1) = 0

und

y' (t = 1) = 0

.

Das Anfangswertproblem soll mit der Mittelpunktmethode (Runge-Kutta 2. Ordnung gelöst werden. Die Schrittweite beträgt

h = 0.1

a)

Überführen Sie das Anfangswertproblem in die Normalform.

b)

Berechnen Sie mit dem angegebenen Verfahren den Wert

y

zum Zeitpunkt

t = 1.2

.

In meinem Skript habe ich mir die Formel angeschaut und diese lautet:

(Mittelpunktmethode auch Runge-Kutta-Verfahren genannt)

Der Verlauf der Lösungsfunktion

y (t)

der DGL

y' = f (t, y)

a \leq t \leq b

und

y (a) = α

w_{0} = α

w_{i + 1} = w_{i + h} [f (t_{i} + \frac{h}{2}, w_{i} + \frac{h}{2} f (t_{i}, w_{i}))]

\forall i = 0,1,2 . .

, m - 1

und

h = \frac{b - a}{m}

approximiert. Der lokale Fehler ist

O (h^{3})

Ersetzt man den Term der Taylorschen Formel nicht wie bei der Mittelpunktmethode durch

a f (t + α, y + β),

sondern durch

a_{1} f (t, y) + a_{2} f (t_{1} + α, y + β f (t, y)),

so erhält man durch den zusätzlichen Parameter eine unendliche Anzahl von Runge-Kutta-Formeln zweiter Ordnung.

Ich tue mich jetzt schwer die Formel anzuwenden, vor allem durch die ganzen Substitutionen erkenne ich jetzt nicht wie ich anhand der DGL 2. Ordnung die Mittelpunktformel ausführen soll? Die Schrittweite beträgt ja

h = 0.1

.

Jetzt müsste ich eig nur den Laufindex

i

ausführen. Mein

i

ist doch jetzt

i = 2

? Oder woran erkenne ich welche Laufindex

i

ich habe? Ich wäre unendlich dankbar wenn mir das jemand erklären könnte,

Grüße

Chica-Rabiosa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:11 Uhr, 10.07.2016

Hallo
erster Schritt: überführe die Dgl in ein System erster Ordnung nachdem du zuvor durch

t \neq 0

dividiert hast mit

y_{1} = y, y_{2} = y'

dann hast du

y_{1}' = y_{2} y_{2}' = f (t, y)

dann verwende besser

t_{k + \frac{1}{2}} = t_{k} + 0.5 h;

t_{k + 1} = t_{k} + h

Chica-Rabiosa aktiv_icon

19:39 Uhr, 10.07.2016

Hallo ledum,

mit

\cdot \frac{1}{t}

folgt:

(⋆) t y'' - y' + 2 \frac{y}{t} - t ln (t) = 0

und mit

y_{1} = y

und

y_{2} = y'

folgt

y_{1}' = y_{2}

und

y_{2}' = f (t, y)

dann hätte ich doch nach dem Schema entsprechend:

aus

(⋆)

mit

y_{1} = y

und

y_{2}' = f (t, y) :

t \cdot y_{2}' - y_{2}' + 2 \frac{y_{1}}{t} - t \cdot ln (t) = 0

Und wie weit läuft mein Index und wie wende ich jetzt deinen Tipp an?

t_{k + \frac{1}{2}} = t_{k} + 0.5 h

t_{k + 1} = t_{k} + h

Das verstehe ich noch nicht so ganz,

danke sehr!

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

22:37 Uhr, 10.07.2016

Hallo
ich hatte einen Tipfehler, natürlich solltest du durch

t^{2}

teilen
dann hast du

y'' = \frac{y'}{t} - 2 \frac{y}{t^{2}} + ln (t)

y_{1}' = y_{2}

y 2' = \frac{y_{2}}{t} - 2 \frac{y_{1}}{t^{2}} + ln (t)

ab jetzt immer mit dem Vektor

y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y 2 \end{matrix})

rechnen

duh hast

y_{0} = y (t_{0})) = y (1) = ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

daraus rechnest du mit dem angegebenen Zwischenschritt

y_{0} = y (t_{0} + h) = y (1.1)

aus.
ich sehe gerade mein letzter post war nicht vollständig-

es gilt

y_{k + \frac{1}{2}} = y_{k} + 0.5 \cdot h \cdot f (t_{k}, y_{k})

y_{k + 1} = y_{k} + h \cdot f (t_{k + \frac{1}{2}}, y_{k + \frac{1}{2}})

dabei ist dein

f

f (y_{k}, t_{k}) = (\begin{matrix} y_{2} \\ \frac{y_{2}}{t} - 2 \cdot \frac{y_{1}}{t^{2}} + ln (t) \end{matrix})

und natürlich ist dein erstes

k = 0

sorry für den unvollständigen post davor. jetzt sollte es stimmen
du musst immer

y_{1}

und

y_{2}

also den Vektor

y

weiter rechnen,
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

23:00 Uhr, 10.07.2016

Hey,

ich erkenne bzw. habe noch Schwierigkeiten beim Ausführen der Indexe. Vor allem wie weit bis zum wie vielten Index muss ich summieren? Das legt die Ordnung fest, wir haben ja zweite Ordnung, also

i

bzw.

k = 3

?

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

01:45 Uhr, 11.07.2016

Hallo
der Index

k

hat nichts mit der ordnung zu tun, erbbezeichnet die einzelnen

y

Werte, die man berechnet.

k = 0

Anfangswert,

k = 1 y

beim Anfangswert+h usw
da du

h = 0.1

vorgegeben hast und von 1 bis

1.2

kommen sollst brauchst du also

y_{2} = y (1 + 2 h)

dahin kommst du in 2 ganzen

h

Schritten.
also 1.

y (1 + h)

ausrechnen genannt

y 1

(nicht zu verwechseln mit dem

y_{1}

als Komponente von

y)

dann im nächsten Schritt aus

y (1 - 1) y (1.1 + h)

ausrechnen
wenn du bis

1.8

rechnen müsstet wären es 8 Schritte.
warum rechnest du nicht mal den ersten Schritt?
Grußß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

16:19 Uhr, 12.07.2016

Naja warum ich nicht rechne ist, weil ich nur eine Anreihung von Variablen und Zahlen sehe und den kompletten Sinn dahinter nicht nachvollziehen kann.

Ich habe

h = 0.1

vorgegeben und woran liegt das, dass ich von

1.0

bis

1.2

komme?

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

19:48 Uhr, 12.07.2016

Hallo
die Idee bei dem ganzen: du hast einen Anfangswert

y

daraus kannst du aus der Dgl eine Anfangssteigung berechnen, im deinfachsten Fall gehst du mit dieser Steigung einen Schritt weiter y(neu)=y(alt)+h*y'(alt) die Methode ist runge Jutta erster Ordnung, oder Euler genannt.
Rung Kutta hat das verbessert.
du gehst nur

\frac{h}{2}

weit und rechnest

y

von

(t_{0} + \frac{h}{2})

aus. daraus die Steigung bei

y (t_{0} + \frac{h}{2})

und mit dieser Steigung gehst du jetzt in einem

h

Schritt vom bekannten

y

zum neuen,
wenn du bei

t = 1

anfängst mit

y (1)

und einen Schritt der länge

h = 0.1

machst kommst du bei

t = 1,1

an und

y (1,1)

ein zweiter Schritt von

0.1

bringt dann

t = 1,1 + 0,1 = 1,2

und

y (1,2)

mach es dir vielleicht erstmal bei einer

1 d

Dgl klar.

z . B y' (x) = 2 y

y (0) = 1

daraus folgt

y' (0) = 2

y (0 + \frac{h}{2}) = y (0) + h (2 \cdot y' (0)

mit

h = 0.1

ist das dann

y (0.05) = 1 + 0.05 \cdot 2 = 1,1

jetzt

y' (0,05) = 2 \cdot 1,1 = 2,2

jetzt mit dieser Steigun von

y (0)

an einen

h

Schritt weiter gehen

y (0 + 0,1) = y (0) + h \cdot y' (0.05) = 1 + 0.1 \cdot 2.2 = 1.22

jetzt das ganze wiederholen mit dem Anfangswert

y (0.1) = 1,22

wird es so klarer? nun das ganze nur auf den Vektor

y

anwenden.
Gruß ledum

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