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Anfangswertproblem DGL 1. Ordnung

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Polynome

Integration

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Anfangswertproblem, DGl 1. Ordnung, Integration, Partielle Differentialgleichungen, polynom

Kerstin89 aktiv_icon

17:08 Uhr, 16.09.2011

Hallo Experten,
ich hänge gerade bei einer Aufgabe und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Gegeben ist das Anfangswertproblem :

(3 \cdot x + 2) \cdot y' = (2 \cdot x + 1) \cdot y

mit

y (0) = 1

Gesucht ist die exakte Lösung.

wenn ich mir alles zurechtlege sieht es bei mir so aus:

\frac{d y}{y} = \frac{2 \cdot x + 1}{3 \cdot x + 2} \cdot d x

Ist das soweit richtig?Wenn ja, kann mir dann jemand einen Tipp geben, wie ich weiter verfahren soll?
Ich würde ja gerne beide Seiten integrieren, nur weiß ich nicht wie ich das mit der rechten Seite machen soll.
Substitution vielleicht?oder Partialbruchzerlegung?
Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.
Gruß
Kerstin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

CKims aktiv_icon

17:36 Uhr, 16.09.2011

sieht soweit gut aus...

jetzt umformen

\frac{2 x + 1}{3 x + 2} = \frac{2 (x + \frac{1}{2})}{3 (x + \frac{2}{3})} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x + \frac{1}{2}}{x + \frac{2}{3}}

= \frac{2}{3} \cdot \frac{x + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6}}{x + \frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}}{x + \frac{2}{3}}

= \frac{2}{3} \cdot (\frac{x + \frac{2}{3}}{x + \frac{2}{3}} - \frac{\frac{1}{6}}{x + \frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} \cdot (1 - \frac{1}{6 (x + \frac{2}{3})}) = \frac{2}{3} - \frac{2}{9 (x + \frac{2}{3})}

Kerstin89 aktiv_icon

18:03 Uhr, 16.09.2011

Genial,aber leider würde ich auf sowas garnicht erst kommen

: (

Eine Frage noch zu einem ähnlichen Thema.

Was genau bedeutet Resonanz?
Also ich habe die homogene Lösung

y = A \cdot e^{x} + B \cdot e^{- x}

Gefragt ist jetzt für welche Störfunktion Resonanz vorliegt.

f (x) = sin (x) f (x) = e^{x}

und

f (x) = e^{x} \cdot sin (x)

Es hat doch irgendwas mit den

λ

zu tun oder?
Also den Nullstellen des Charakteristischen Polynoms.
Also

- 1

und 1
Jetzt schau ich doch zB bei

e^{x} = e^{c \cdot x}

c = λ 1

oder

= λ 2

ist oder?
Bei

f (x) = e^{x}

würde ich also sagen es liegt Resonanz vor...aber bei den anderen bin ich verwirrt.
Bei

sin (β \cdot x)

schau ich jetzt, ob

i \cdot β

ein

λ

ist? ich hätte jetzt gesagt ja, weil ich

i

für

- 1

gehalten habe, aber dem scheint nicht so zu sein.
Kann mir da auch noch jemand helfen?
Gruß

CKims aktiv_icon

22:14 Uhr, 16.09.2011

"Was genau bedeutet Resonanz?"

wenn du eine schaukel irgendwie anschubst, wird die schaukel nicht in schwung kommen. wenn du aber die schaukel immer dann anschubst, wenn diese von dir wegschwingt, schwingt die schaukel immer hoeher und du hast resonanz.

das hat was mit den

λ

zu tun... du musst gucken, ob die

λ

in der stoerfunktion dieselben sind wie in deiner loesung... wenn ja, dann liegt resonanz vor. denn dann ist auch die stoerfunktion selber loesung der homogenen dgl. die stoerfunktion schwingt also genauso wie die schaukel, wenn du die schaukel einfach nur aus einer bestimmten position loslaesst (entspricht homogenen dgl ohne stoerung). wenn die stoerung nun genauso schwingt, ist das so, als ob du die schaukel immer nur dann anschubst, wenn diese von dir wegschwingt (grob gesagt).

bei

e^{x}

hast du also resonanz weil hier

λ

auch gleich 1 ist.

bei den anderen hast du keine resonanz, weil durch den sinus noch ein kompolexes

λ

von

i β

hinzukommt, der nicht teil der homogenen loesung ist.

lg

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