Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Anfangswertproblem Intervall für eindeutige Lösung

Anfangswertproblem Intervall für eindeutige Lösung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Anfangswertproblem, Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
CapNeemo

CapNeemo aktiv_icon

21:26 Uhr, 23.12.2021

Antworten
Ich versuche gerade bei folgendem Anfangswertproblem das größte Offene Teilintervall I zu finden mit 0I, auf dem das AWP eine eindeutige Lösung hat. Dazu hatte ich folgenden Ansatz (Wir sollten den Seperationsansatz verwenden):

AW: y(0)1

yʹ=y21+x2

dydx=y21+x2

dyy2=dx1+x2

1y2dy=11+x2dx

-1y=arctan(x)+C

y(x)=-1arctan(x)+C


Jetzt AW einsetzen für eindeutige Lösung:
y(0)=-1arctan(0)+C1

-1C1


Also C-1.

Und jetzt stecke ich fest, wie bestimme ich aus C mein Intervall auf dem diese eindeutige Lösung existiert. Oder hätte ich gleich bestimmt integrieren sollen und wäre so auf die Intervall Grenzen gestoßen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

11:23 Uhr, 24.12.2021

Antworten
Hallo,

ich würde die Aufgabe so verstehen, dass Du die Lösung der Dgl mit allgemeinem Anfangswert y(0) bestimmen sollst, als0

y(x)=-11y(0)+arctan(x)

Jetzt ergibt sich der Definitionsbereich der Lösung daraus, dass der Nenner nicht 0 werden darf - in Abhängigkeit von y(0)

Gruß pwm


Frage beantwortet
CapNeemo

CapNeemo aktiv_icon

12:38 Uhr, 24.12.2021

Antworten
Hallo vielen Dank pwmeyer,

Das hat mir sehr geholfen ich wollte nochmal die Lösung präsentieren für alle die vielleicht Interesse haben:

yʹ=y21+x2
dydx=y21+x2
dyy2=dx1+x2
1y2dy=11+x2dx
-1y=arctan(x)+C
y(x)=-1arctan(x)+C


Jetzt AW einsetzen für eindeutige Lösung:}
y(0)=-1arctan(0)+C
C=-1y0
y(x)=-1arctan(x)-1y0


Da der Nenner nicht 0 werden darf:
arctan(x)-1y00
arctan(x)1y0
xtan(1y0)


Da y0 größer gleich 1 ist, wird der rechte Term (bei arctan(x)1y0) immer kleiner gleich 1 sein sodass der höchste Wert, auf dem eine eindeutige Lösung existiert, sich unter der folgenden Schranke befindet:
arctan(x)=1
x=π4


Für das Intervall gilt also:
I:=(,π4)\x=tan(1y0)


Lg und frohes Weihnachtsfest