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Anfangswertproblem lösen. Laplace Transformation

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Laplace Transformation

Clemens57 aktiv_icon

15:12 Uhr, 11.05.2017

Hallo,
gegeben folgendes O.D.E
$y " + y = x$
mit $y (\frac{π}{2}) = 0$
und $y ´ (\frac{π}{2}) = 1$

Ich soll das ganze mit Hilfe von Laplace Umformungen lösen, aber ich habe nun leider das Problem, dass ich nicht weiss wie ich die Bedingung $y (0) = . . .$ erstellen kann.

Kann mir jemand sagen, wie das geht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

19:50 Uhr, 11.05.2017

Hallo,

vielleicht betrachtest Du die Funktion $z (x) = y (\frac{π}{2} + x)$ .

Gruß pwm

Clemens57 aktiv_icon

20:16 Uhr, 11.05.2017

Hallo,

kannst Du mir denn sagen wofür das gut ist? Finde leider nichts, das beschreibt wie ich das Anfangswertproblem lösen kann.
Ich will dafür sorgen, dass diese Bedingungen für $y (0) = ?$ und $y ´ (0) = ?$ erfüllt sind. Diese Werte benötige ich für die weitere Laplaceentwicklung. Ich denke, dass der $s i n u s$ das erfüllen kann, jedoch weiss ich nicht wie ich das mathematisch ausdrücken kann, bzw. ausrechnen kann.

pleindespoir aktiv_icon

01:44 Uhr, 12.05.2017

$y " + y = x$
homogen:
$y " + y = 0$
Polynom dazu:
$λ^{2} + λ = 0$
$λ (1 + λ) = 0$
$λ_{1} = 0$
$λ_{2} = - 1$
... usw ...

---

Das Einsetzen der Anfangswerte kommt - entgegen der sprachlich induzierten Erwartung - erst ganz am Schluss!

Clemens57 aktiv_icon

10:25 Uhr, 12.05.2017

Guten Morgen,
Ich habe das ganze jetzt mit Hilfe von Störfunktionen gelöst:

Lösung der homogenen Gleichung:
komplexe Lösung. $+ \sqrt[]{j}$
$- \sqrt[]{j}$
Somit: $c_{1} s i n (x) + c_{2} c o s (x) = 0$

Ansatz für die Auflösung der Störfunktion:

$y " + y = x$
$y_{p} = c_{3} x + c_{4}$
Somit: $x = 0 + c_{3} x + c_{4}$
$x = c_{3} x$
Koeffizientenvergleich:
$c_{3} = 1$
Also: $y_{h} + y_{s} = y_{g}$

$c_{1} s i n (x) + c_{2} c o s (x) + x = y_{g}$
$c_{1} c o s (x) - c_{2} s i n (x) = y ´_{g}$

Einsetzen der Anfangswerte gibt mir $c_{2} = 0$ ; $c_{1} = - \frac{π}{2}$

womit $y_{g} = - \frac{π}{2} s i n (x) + x$

Zurück zu meiner Frage: wie kann ich das mithilfe von Laplace lösen, wie es in der Aufgabenstellung steht?!

Edddi aktiv_icon

11:19 Uhr, 12.05.2017

$y'' + y = x$

$L {y''} + L {y} = L {x}$

$(s^{2} F (s) - f' (0) - s \cdot f (0)) + F (s) = \frac{1}{s^{2}}$

$s^{2} F (s) - C_{1} - s \cdot C_{2} + F (s) = \frac{1}{s^{2}}$

$(s^{2} + 1) F (s) = \frac{1}{s^{2}} + s \cdot C_{2} + C_{1}$

$F (s) = \frac{1}{s^{2} (s^{2} + 1)} + \frac{s}{s^{2} + 1} \cdot C_{2} + \frac{C_{1}}{s^{2} + 1}$

$F (s) = \frac{1}{s^{2}} - \frac{1}{s^{2} + 1} + \frac{s}{s^{2} + 1} \cdot C_{2} + \frac{C_{1}}{s^{2} + 1}$

Rücktransf.

$y = x - sin (x) + C_{2} \cdot cos (x) + C_{1} \cdot sin (x)$

Nun könnne wir noch $C_{1} - 1$ zu neuer Variable zusammenfassen:

$y = x + C_{2} \cdot cos (x) + C_{3} \cdot sin (x)$

Dann ist

$y = x + C_{2} \cdot cos (x) + C_{3} \cdot sin (x) \Rightarrow y (\frac{π}{2}) = 0 = \frac{π}{2} + C_{3} \Rightarrow \frac{C}{3} = - \frac{π}{2}$

$y' = 1 - C_{2} sin (x) + C_{3} cos (x) \Rightarrow y' (\frac{π}{2}) = 1 = 1 - C_{2} \Rightarrow C_{2} = 0$

Daraus letztendlich:

$y = x - \frac{π}{2} \cdot sin (x)$

;-)

Clemens57 aktiv_icon

11:49 Uhr, 12.05.2017

Super Eddy, vielen Dank, darauf wäre ich nie gekommen!

Edddi aktiv_icon

11:59 Uhr, 12.05.2017

$. .$ . wenn du keine Anfangsbedingungen wie $f (0), f' (0)$ usw. hast, dann lässt du die eben stehen oder verwendest der Übersichtlichkeit halber eben Konstanten wie $C_{1}$ oder $C_{2}$ .

Diese hast du dann eben in der Lösungsfunktion und kannst dann durch einsetzen der Anfangsbedingungen die Konstanten auflösen.

;-)

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