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Anfangswertproblem mit unbekannter Konstante

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

ray11 aktiv_icon

17:18 Uhr, 13.06.2019

Hi, ich bräuchte etwas Hilfe bei folgenden Aufgaben:

Bestimmen Sie jeweils die maximale Lösung folgender Anfangswertprobleme in Abhängigkeit von

a \in ℝ :

(a)

x' = cos (t) e^{- x}, x (0) = a, (a \geq 0)

(b)

x' = \frac{x^{2}}{t^{2}}, x (1) = a

(c)

x' = x^{2}, x (0) = a

Ich weiß ehrlich gesagt nicht was gemeint ist mit "in Abhängigkeit von a" die Lösung angeben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Gerd30.1 aktiv_icon

18:15 Uhr, 13.06.2019

a) x' = \frac{d x}{d t} = cos (t) \cdot e^{- x} \Leftrightarrow e^{x} d x = cos (t) d t \Leftrightarrow e^{x} = sin (t) + C \Leftrightarrow x = ln (sin (t) + C)

mit

x (0) = a \geq 0

folgt:

ln (C) = a \Leftrightarrow C = e^{a};

also

x = ln (sin (t) + e^{a})

Probe:

x' = \frac{cos (t)}{sin (t) + e^{a}} = \frac{cos (t)}{e^{x}}

rundblick aktiv_icon

19:43 Uhr, 13.06.2019

.
"Ich weiß ehrlich! gesagt nicht was gemeint ist mit "in Abhängigkeit von a" die Lösung angeben"

du bekommst bei deinen Aufgaben nicht nur eine einzelne, konkrete Lösungskurve, sondern eine
eben vom Parameter a abhängige Kurvenschar ..

Beispiel

c) \to x' = x^{2} .

; .

x (0) = a

\to

alle Lösungen gehören zu der Hyperbelschar mit der Gleichung

\to x (t) = \frac{a}{1 - a \cdot t}

für jeden konkreten Wert von

a \neq 0

erhältst du jeweils eine Hyperbel mit einer Asymptote bei

t = \frac{1}{a}

(Beispiel:
für

a = 2 \to x = \frac{2}{1 - 2 t} . .

. Asymptote

t = \frac{1}{2}

oder: ..für

a = - 3 \to x = \frac{- 3}{1 + 3 t} . .

. Asymptote

t = - \frac{1}{3} . .

. usw..)

und für

a = 0

erhältst du als Lösungskurve die Gerade

x = 0

und die ist zugleich für alle
Lösungshyperbeln (also für jene mit

a \neq 0)

die zweite Asymptote.

alles klar ?
.

ray11 aktiv_icon

07:56 Uhr, 14.06.2019

Wieso ist

\frac{cos (t)}{sin (t) + e^{a}} = \frac{cos (t)}{e^{x}}

?

Ich habe dann mal nach dem gleichen Schema die

(b)

probiert:

x' = \frac{x^{2}}{t^{2}} = \frac{d x}{d t} \Leftrightarrow \int \frac{d x}{x^{2}} = \int \frac{d t}{t^{2}} \Leftrightarrow - \frac{1}{x} = - \frac{1}{t} + c

\Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{t} - c \Leftrightarrow x + t \cdot x \cdot c = t \Leftrightarrow x = \frac{t}{1 + t \cdot c}

mit

x (1) = a : \frac{1}{1 + c} = a \Leftrightarrow c = \frac{1}{a} - 1

also:

x = \frac{t}{1 + t (\frac{1}{a} - 1)}

Jedoch komme ich mit der Probe hier nicht auf meine Ausgangs-DGL. Wo liegt der Fehler?

Auch die

(c)

habe ich probiert:

x' = x^{2} \Leftrightarrow \int \frac{1}{x^{2}} d x = \int 1 d t \Leftrightarrow - \frac{1}{x} = t + c \Leftrightarrow x = - \frac{1}{t + c}

mit

x (0) = a : - \frac{1}{c} = a \Leftrightarrow c = - \frac{1}{a}

\Rightarrow x = - \frac{1}{t - \frac{1}{a}}

Stimmt denn das?

rundblick aktiv_icon

10:49 Uhr, 14.06.2019

.
" ⇒

x = - \frac{1}{t - \frac{1}{a}}

Stimmt denn das?"

\to

es ist ärgerlich, dass du nicht liest, was Mann dir schreibt.

x = - \frac{1}{t - \frac{1}{a}} = \frac{a}{1 - a t} . .

. und das habe ich dir oben

(19 : 43

Uhr,

13.06.2019)

schon notiert.

.

ray11 aktiv_icon

11:26 Uhr, 14.06.2019

Sorry, hab nicht gesehen, dass das dieselbe Lösung ist.

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