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Anfangswertprobleme lösen (Exponentialverteilung)

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Anfangswertprobleme lösen

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10:09 Uhr, 15.09.2021

Zum Lösen von Anfangswertproblemen, habe ich mir eben folgendes durchgelesen und auch verstanden:
www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-gewoehnliche-differentialgleichungen/gewoehnliche-differentialgleichungen/anfangswertprobleme-formulieren-und-loesen.html

Nun wollte ich dies aber gerne verwenden um zu verstehen wie man von:

\frac{d}{d t} y (t) = - λ \cdot y (t)

y (0) = y_{0}

auf

y (t) = y_{0} \cdot e^{- λ t} \forall t \geq 0

kommt. Leider scheint der gegebene Inhalt aus dem ersten Link dafür nicht ausreichend zu sein bzw. ich weiß nicht, wie man die

\frac{d}{d t} y (t)

entsprechend integriert um eine entsprechende Lösung zu erhalten.

Könnte jemand so nett sein und die Lösung des Anfangswertproblems schrittweise erläutern?

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

10:43 Uhr, 15.09.2021

Sagt die der Begriff "Trennung der Variablen" etwas ?

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10:57 Uhr, 15.09.2021

Ich bin nicht sicher, worauf du hinaus möchtest. Integration von verketteten Funktionen sagt mir etwas. Lambda ist aber eine Konstante wenn mich nicht alles täuscht. Gerne darfst du mir aber erklären, was du versuchst mir zu sagen.

Ich könnte dann aus

y (t) = y_{0} + \int_{0}^{t} - λ \cdot y (x) d x = y_{0} - λ \int_{0}^{t} y (x) d x = y_{0} - \int_{0}^{t} y (φ (u)) \cdot φ^{ʹ} (u) d u

machen mit

d x = φ^{ʹ} (u) d u

Ist aber immer noch nicht die obige Lösung und ich habe auch keine Ahnung, wie ich damit irgendwo hin komme.

Respon

11:05 Uhr, 15.09.2021

y' = - λ \cdot y

\frac{y'}{y} = - λ

Integration

ln (y) = - λ \cdot t + C

y = e^{- λ \cdot t + C}

usw.

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11:14 Uhr, 15.09.2021

Für die Menschen, die sehr lange nicht praktisch integriert haben, könntest du das Integral

\int \frac{y^{ʹ} (t)}{y (t)} d t = \ln (y (t))

erläutern?

Respon

11:24 Uhr, 15.09.2021

Das ist ein "Grundintegral".

\int \frac{1}{x} d x = ln (x) + C

weil

{[ln (x)]}^{'} = \frac{1}{x}

( Die Schreibweise deines Integrals ist nicht korrekt )

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11:44 Uhr, 15.09.2021

Die Schreibweise welches meiner Integrale ist nicht korrekt? Warum ist diese nicht korrekt? Wie korrigiere ich diese?

Respon

11:50 Uhr, 15.09.2021

\int \frac{1}{y} d y = \int (- λ) d t

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11:58 Uhr, 15.09.2021

Die Regel des von dir als Grundintegral bezeichneten Integrals (ich nehme an, dass du die Herleitung nicht kennst, es sich aber nicht um eine axiomatische Grundlage handelt) habe ich wie folgt gefunden ( www.mathebibel.de/integrationsregeln#besondere-regeln ):

\int \frac{f^{ʹ} (x)}{f (x)} d x = \ln (∣ f (x) ∣) + C

Ist dann folgendes - was sich aus deinem Grundintegral ergibt

\int \frac{f^{ʹ} (x)}{f (x)} d f (x) = \ln (∣ f (x) ∣) + C

einfach eine weitere Grundregel?

Vielleicht hilft es mir aber auch, wenn du mir erklärst, warum

\frac{1}{y (t)} = \frac{y^{ʹ} (t)}{y (t)}

ist?

Respon

12:12 Uhr, 15.09.2021

Schreibweisen

y' (t) = \frac{d y (t)}{d t}

\frac{d y (t)}{d t} = - λ \cdot y

Nun wird - nur "formal" - die Gleichung beidseitig mit

d t

multipliziert und durch

y

dividiert.

\Rightarrow

\frac{1}{y} d y (t) = - λ \cdot d t

bzw

\frac{1}{y} d y = - λ d t

\int \frac{1}{y} d y = \int (- λ) d t

ln (y) = - λ \cdot t + C

usw.

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13:28 Uhr, 15.09.2021

Vielen Dank, ich denke diesen Teil habe ich nun soweit verstanden. Eine offene Frage bleibt allerdings. Warum ist die Lösung

y_{0}

"MAL" das Integral und nicht "PLUS" also:

y (t) = y_{0} + e^{- λ t + C}

sondern

y (t) = y_{0} \cdot e^{- λ t + C}

Aus dem vorhergehenden Beispiel zu Anfangswertproblemen (Link im ersten Beitrag), wird der Schnittpunktwert mit der x-Achse addiert, was für mich logisch und verständlich erscheint. Denn aus einem Anstieg und einem Startpunkt kann ich einen Verlauf sehr gut ableiten.

Das Beispiel, welches ich versuche nachzuvollziehen habe ich unter diesem Link gefunden: link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-3-540-72156-7%2F1.pdf

Respon

13:43 Uhr, 15.09.2021

Lt. Angabe ist

y (0) = y_{0}

Wir hatten zuletzt

y = e^{- λ \cdot t + C}

y = e^{C} \cdot e^{- λ \cdot t}

y (0) = e^{C} \cdot e^{- λ \cdot 0}

y (0) = e^{C}

Also

e^{C} = y (0) = y_{0}

\Rightarrow

y = y_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}

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14:44 Uhr, 15.09.2021

Vielen lieben Dank. Vor allem auch für die Geduld mit mir. Die Erklärungen haben mir wirklich sehr geholfen.

Warum will ich das Wissen plötzlich lernen? Ich beschäftige mich gerade mit verschiedenen Zufallsgraphen und zu diesen gehören auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ich wollte gerne auch wissen wie diese sie herleiten. Dies ermöglicht mir hoffentlich ein tieferes Verständnis und erlaubt es mir auch einige Parameter gezielt zu manipulieren. Ob und wann ich dieses Wissen in der Anwendung tatsächlich brauche, wird sich sicher noch zeigen. Aber jetzt bin ich zumindest für den Moment in der Lage selbständig weiterzuarbeiten.

Wie gesagt, vielen lieben Dank!

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