Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Annäherung mittels Taylor

Annäherung mittels Taylor

Schüler , 12. Klassenstufe

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Funktionenreihen

Tags: Analysis, Approximation, Logarithmus, Taylor, Taylor Approximation, Taylorentwicklung, Taylorformel, Taylorpolynom

byjenseirik aktiv_icon

15:43 Uhr, 01.05.2017

Hallo Zusammen

Ich habe folgende Aufgabe: Berechnen Sie mithilfe der Taylor-Approximation einen Näherungswert für

log (1.1)

exakt bis drei Nachkommastellen.

Ich kenne das Taylor-Polynom und weiss, wie man dieses findet. Ich kenne auch die Fehlerabschätzung mittels Restterm.

Jedoch habe ich hier keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe genau lösen soll.
Meine bisherigen Ideen: sei

f (x) := log (x)

f^{1} (x) = \frac{1}{x}, f^{2} (x) = - \frac{1}{x^{2}}, f^{3} (x) = \frac{2}{x^{3}}

usw., also im Allgemeinen

f^{k} (x) = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot (k - 1)!}{x^{k}},

wobei ich mit

f^{k}

die

k

"-te" Ableitung bezeichne.

Das Taylorpolynom

m

"-ten" Grades ist also:

T_{m} (x) := \sum_{k = 0}^{m} \frac{f^{k} (x_{0})}{k!} \cdot {(x - x_{0})}^{k}

folglich:

T_{m} (x) = log (1.1) + \frac{1}{1.1} \cdot (x - 1.1) - \frac{1}{2 \cdot {(1.1)}^{2}} \cdot {(x - 1.1)}^{2} + \frac{2}{6 \cdot {(1.1)}^{3}} \cdot {(x - 1.1)}^{3} + .

.

Setze ich hier aber nun

x_{0} = 1.1

ein, dann kommt selbstverständlich dabei genau

log (1.1)

raus, dies möchte ich aber ja gerade approxmieren.

Müsste ich hier also das Taylorpolynom in einer anderen Umgebung bilden(bspw. bei

1.0

statt

1.1)

?

Danke für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Roman-22

16:24 Uhr, 01.05.2017

>

Müsste ich hier also das Taylorpolynom in einer anderen Umgebung bilden(bspw. bei

1.0

statt

1.1)

?
Ja! Genau das!
Du kannst doch die Taylorreihe einer Funktion nur an eine Stelle aufstellen, an der du den Funktionswert kennst. Und die Stelle 1 passt hier doch wunderbar. Zum einen kennst du

ln (1) = 0

und zum anderen ist 1 hinreichend nahe am vakanten Wert

1,1

byjenseirik aktiv_icon

17:23 Uhr, 01.05.2017

Danke. Habe ich soweit gemacht. nun, da

f (x) := log (x)

ist und da

f \in C^{\infty}

ist, kann ich die Taylor-Reihe bilden:

T_{\infty} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{k} (x_{o}) \cdot {(x - x_{0})}^{k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot (k - 1)!}{{(x_{0})}^{k}} \cdot \frac{{(x - x_{0})}^{k}}{k!} = log (1) + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot {(x - 1)}^{k}}{k}

x_{0} = 1

gilt.

Mir ist klar, dass diese Reihe für

x = 1.1

gegen

log (1.1)

konvergiert.
Nun sollte ich aber meiner Meinung nach eigentlich nicht die Taylor-Reihe, sondern nur ein Taylorpolynom

m

"-ten" Grades betrachten.

Da ich auch die

m + 1

"-te" Ableitung bilden kann, gilt dann:

f (x) = T_{m} (x) + f^{m + 1} (c) \cdot \frac{{(x - x_{0})}^{m + 1}}{(m + 1)!}

für ein

c \in [x_{0}, x]

.

für den Restterm sollte dann die Abschätzung

| R_{m} (f; x; x_{0}) | \leq s u p | f^{m + 1} (ξ) | \cdot \frac{{(x - x_{0})}^{m + 1}}{(m + 1)!}

über alle

x_{0} < ξ < x

.

Zudem soll meine Abweichung ja höchstens

0.0005

betragen, also

| R_{m} (f; x; x_{0}) | < 0.0005

.

Stimmt dies soweit? Nur frage ich mich nun, wie ich denn ein kleinstes solches

m

finden soll?

Roman-22

20:43 Uhr, 01.05.2017

Nun, Restgliedabschätzungen gibts ja einige.
Da die vorliegende Reihe alternierend ist, kann man es sich sogar einfach machen und den Fehler mit dem Betrag des nächsten Glieds abschätzen.

Die Ungleichung

\frac{{(1,1 - 1)}^{n}}{n} < 0,0005

ist zwar elementar auch nicht lösbar, aber mit Rechnerhilfe

(\to n > 2,847)

oder durch Probieren findet man rasch, dass erstmals

\frac{{0,1}^{3}}{3} = 3, \bar{3} \cdot 10^{- 4}

kleiner als

0,0005

ist.
Also genügt es, die Reihe bis zur Ordnung 2 zu verwenden.

Und

0,1 + \frac{{0,1}^{2}}{2} = 0,095

stimmt auch tatsächlich in den ersten drei Nachkommastellen mit

ln (1,1) \approx 0,095 31017980432486

überein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1368164

1368081

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?