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Annuität mit verschiedenen Zinssätzen

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Annuität, Finanzmathematik, Zinssatz

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23:29 Uhr, 21.02.2018

Hallo zusammen!

Ich sitze hier gerade an einer Aufgabe und stehe komplett auf dem Schlauch.

[...]

b)

Nehmen Sie an, DRAGO würde alle Zins- und Zinseszinsbeträge am

31.12.2019

abheben und

36.000

Euro auf dem Konto „belassen“! Welchen konstanten Betrag kann er dann an jedem Jah-resende (also am

31.12.2020, 31.12.2021

und am

31.12.2022)

entnehmen, wenn das Guthaben nach 3 Jahren aufgezehrt sein soll und für diese Zeit mit einem Zinssatz von

1 % p . a

. gerechnet wird?

(3

Punkte)

c)

Beantworten Sie Frage

b)

erneut unter der Voraussetzung, daß den Berechnungen im ersten Jahr ein Zinssatz von

1 %,

im zweiten Jahr von

0,7 %

und im dritten Jahr ein Zinssatz von erneut

1 %

zugrunde zu legen ist!

Mal das unwesentliche rausgeschnitten. Die Musterlösungen geben bei

b .) 12240,7963

und bei

c .) 12 . 216,6535

Euro vor.

b

. habe ich wie folgt gelöst:

36000 \cdot \frac{1}{\frac{1 - {1,01}^{- 3}}{0,01}}

Bei

c

. stehe ich komplett aufm Schlauch. Wie kann ich die Annuität mit verschiedenen Zinssätzen berechnen????

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

08:35 Uhr, 22.02.2018

Hallo,

Du kommst mit der Aufgabe nicht zurecht, weil Du zwar die Berechnungsformel nachschlagen, aber ihre Entstehung in keinster Weise nachvollziehen kannst! Hier mal die Entstehung anhand Deiner Werte:

Guthaben zu Beginn des ersten Jahre

(=

eingezahltes Guthaben):

36.000

Guthaben inklusive Zinsen nach einem Jahr:

36.000 \cdot 1,01

Abholung nach (eigentlich genau bei) Verzinsung am ersten Jahresende:

x

Guthaben nach der Abholung am Ende des ersten Jahres:

36.000 \cdot 1,01 - x

Guthaben zu Beginn des zweiten Jahres

(=

Guthaben Ende erstes Jahr):

36.000 \cdot 1,01 - x

Guthaben inklusive Zinsen nach zwei Jahren:

(36.000 \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01

Abholung nach (eigentlich genau bei) Verzinsung am zweiten Jahresende:

x

Guthaben nach der Abholung am Ende des zweiten Jahres:

(36.000 \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01 - x

Guthaben zu Beginn des dritten Jahres

(=

Guthaben Ende zweites Jahr):

(36.000 \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01 - x

Guthaben inklusive Zinsen nach drei Jahren:

((36.000 \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01

Abholung nach (eigentlich genau bei) Verzinsung am dritten Jahresende:

x

Guthaben nach der Abholung am Ende des dritten Jahres:

((36.000 \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01 - x

Jetzt soll aber gelten, dass das Guthaben nach drei Jahren aufgebraucht ist, also gilt:

((36.000 \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01 - x = 0

(36.000 \cdot {1,01}^{2} - x \cdot 1,01 - x) \cdot 1,01 - x = 0

36.000 \cdot {1,01}^{3} - x \cdot {1,01}^{2} - x \cdot 1,01 - x = 0

36.000 \cdot {1,01}^{3} - ({1,01}^{2} + 1,01 + 1) \cdot x = 0

36.000 \cdot {1,01}^{3} = ({1,01}^{2} + 1,01 + 1) \cdot x (⋆)

36.000 \cdot {1,01}^{3} = ({1,01}^{2} + {1,01}^{1} + {1,01}^{0}) \cdot x

36.000 \cdot {1,01}^{3} = \frac{{1,01}^{3} - 1}{1,01 - 1} \cdot x

36.000 \cdot {1,01}^{3} = \frac{{1,01}^{3} - 1}{0,01} \cdot x

\frac{36.000 \cdot {1,01}^{3}}{\frac{{1,01}^{3} - 1}{0,01}} = x

36.000 \cdot \frac{{1,01}^{3}}{\frac{{1,01}^{3} - 1}{0,01}} = x

36.000 \cdot \frac{1}{\frac{1 - \frac{1}{{1,01}^{3}}}{0,01}} = x

36.000 \cdot \frac{1}{\frac{1 - {1,01}^{- 3}}{0,01}} = x

Jetzt kannst Du leicht ausrechnen, was

x

ist. Und leicht nachvollziehen, wie Du mit dem geänderten Zinssatz rechnen kannst. Du kannst zwar "nicht so schön" zusammenfassen, aber was soll's, sowohl die linke Seite als auch der Klammerausdruck an der Stelle

(⋆)

ist ja trotzdem leicht berechenbar! Du rechnest einfach alle Werte aus und ab dieser Stelle rechnest Du dann eben nur noch mit den Werten, fertig!

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10:30 Uhr, 22.02.2018

Ein einfacher Barwertvergleich tut es auch:

b) 36000 = x \cdot (\frac{1}{1,01} + \frac{1}{{1,01}^{2}} + \frac{1}{{1,0}^{3}})

c) 36000 = x \cdot (\frac{1}{1,01} + \frac{1}{1,01 \cdot 1,007} + \frac{1}{{1,01}^{2} \cdot 1,007})

Diesmal hat unser Bummerang mit Kanonen auf Spatzen geschossen. :-)

Enano

10:50 Uhr, 22.02.2018

Hallo supporter,

bitte noch einmal korrigieren.

"Diesmal hat unser Bummerang mit Kanonen auf Spatzen geschossen."

Für das Verständnis ist das aber sehr hilfreich.
Ich glaube nicht, dass der Fragesteller nachvollziehen kann, warum du so gerechnet hast.

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11:22 Uhr, 22.02.2018

Der Begriff Barwertvergleich sollte einem Studenten der BWL bekannt sein.
Daher sollte er das nachvollziehen können. :-)

Enano

11:46 Uhr, 22.02.2018

Supporter, kannst du denn nachvollziehen, dass deine Rechnung noch einen Fehler enthält?;-)
Mit "korrigieren" meinte ich selbstverständlich nicht deine Aussage bzgl. Bummerangs Rechnung.

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11:57 Uhr, 22.02.2018

Sorry, ich kann keinen Fehler erkennen. Es kommt die angegebene Lösung raus.
Habs grade nachgerechnet.

Enano

12:14 Uhr, 22.02.2018

Du hast den ersten Flüchtigkeitsfehler von

{1,0}^{3}

geändert in

\frac{1}{{1,0}^{3}}

anstatt in

\frac{1}{{1,01}^{3}}

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12:18 Uhr, 22.02.2018

Ist mir entgangen. Danke. :-)

SA12345 aktiv_icon

21:43 Uhr, 22.02.2018

Vielen Dank für beide Antworten, sie waren beide sehr hilfreich!

Bummerang

09:07 Uhr, 23.02.2018

Hallo supporter,

der Fragesteller hatte eine Formel, aus einem Tafelwerk, aus der Vorlesung, woher auch immer und konnte mit dieser arbeiten. Was er nicht konnte, war diese Formel mit der Besonderheit unterschiedlicher Zinssätze zu modifizieren. Aus diesem Grund habe ich dem Fragesteller keine andere Lösung angeboten, auch wenn diese noch so viel leichter wäre, denn auch hier wäre er möglicherweise an der Herleitung und damit der Modifikation gescheitert.

Wenn das in Deinen Augen Kanonen sind, so habe ich sie höchstens bedient, angeschafft hat diese der Fragesteller! Und immerhin hat dieser Fragesteller sich wenigstens durch Raussuchen der richtigen Formel bemüht, die Aufgabe wenigstens teilweise zu lösen. Warum soll ich ihm dann schreiben, dass er es anders machen soll? Ich lasse den Fragestellern gern ihre Wege und wenn die Aufgabe gelöst ist, biete ich eventuell Alternativwege an. Für die interessierten und die, die später mal über diese Aufgabe nebst Lösung in diesem Forum stolpern.

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