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Ansatz eines Differentialgleichungssystems

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

FabianVu aktiv_icon

22:46 Uhr, 20.01.2017

Hey, ich habe eine ganz kurze Frage und zwar wie bestimmt man einen Ansatz zur Lösung des folgenden Differentialgleichungssystems:

y'' = w - y

w'' = y - 3 \cdot w

Es geht nur um einen Ansatz mit Koeffizienten, um dies zu mit einem Computeralgebrasystem zu implementieren

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:03 Uhr, 20.01.2017

Hallo

a)

du verwandelst es in ein System ersten Grades mit 4 Gleichungen, und kennst Methoden dafür. (das ist ein üblicher Weg)

b)

du differenzierst eine der gl. 2 mal und setzt ein

z

B, w = y'' + y \to w'' = y'''' + y''

dann

y'''' + y'' = y - 3 \cdot (y'' + y)

jetzt hast du eine einfache lineare homogene Dgl für

y

entsprechend kannst du eine für

w

finden.
Gruß ledum

FabianVu aktiv_icon

23:26 Uhr, 20.01.2017

Hmm also meine eigentliche Frage war ein Lösungsansatz wie es

z . B

a cos (x) + b sin (x)

für die spezielle Lösung eines inhomogenen Teils mit Cosinus ist. Ausgehend von dem sollen wir dann programmieren (diesen Teil hab ich bereits).

Und mir fällt da gerade kein Lösungsansatz für diese Differentialgleichung ein.

mihisu aktiv_icon

00:32 Uhr, 21.01.2017

"Hmm also meine eigentliche Frage war ein Lösungsansatz wie es

z . B

acos(x)+bsin(x)a für die spezielle Lösung eines inhomogenen Teils mit Cosinus ist."

Das ist ein Lösungsansatz für eine spezielle Lösung. Damit bekommst du evtl. nicht alle Lösungen.

Im Fall deiner Aufgabe ist die Inhomogenität

0,

da du ein homogenes Differentlialgleichungssystem hast. Daher wäre beispielsweise

(y, w) = (0, 0)

eine spezielle Lösung des Differentialgleichungssystems. Wenn du an einer allgmeinen Lösung interessiert bist, musst du das homogene Problem lösen. Da hilft dir jetzt ein Ansatz nur bedingt weiter. Bzw. ist das meiner Meinung nach um einiges aufwändiger, als das direkt zu lösen. Bzw. kannst du den Ansatz vereinfachen, je weiter du das DGL-System schon gelöst hast.

\\\\

Interessant wäre es die KONKRETE, MÖGLICHST KOMPLETTE (FORMULIERUNG DER) AUFGABENSTELLUNG zu erfahren. Evtl. ist ja etwas ganz anderes gemeint, als ich das jetzt verstanden habe.

\\\\

Man könnte sagen, dass die Lösungen für

y

bzw.

w

von der Form

(c_{1, 0} + c_{1, 1} t + c_{1, 2} t^{2} + c_{1, 3} t^{3}) \cdot e^{k_{1} \cdot t}

+ (c_{2, 0} + c_{2, 1} t + c_{2, 2} t^{2} + c_{2, 3} t^{3}) \cdot e^{k_{2} \cdot t}

+ (c_{3, 0} + c_{3, 1} t + c_{3, 2} t^{2} + c_{3, 3} t^{3}) \cdot e^{k_{3} \cdot t}

+ (c_{4, 0} + c_{4, 1} t + c_{4, 2} t^{2} + c_{4, 3} t^{3}) \cdot e^{k_{4} \cdot t}

sind. Dabei können die Konstanten zunächst auch komplexe Zahlen sein.

Da in deinem Gleichungssystem kein

y^{'}

bzw. kein

w^{'}

vorkommt, kann man sogar sagen, dass die Lösungen von der Form

(c_{1, 0} + c_{1, 1} t + c_{1, 2} t^{2} + c_{1, 3} t^{3}) \cdot e^{k_{1} \cdot t}

+ (c_{2, 0} + c_{2, 1} t + c_{2, 2} t^{2} + c_{2, 3} t^{3}) \cdot e^{- k_{1} \cdot t}

+ (c_{3, 0} + c_{3, 1} t + c_{3, 2} t^{2} + c_{3, 3} t^{3}) \cdot e^{k_{2} \cdot t}

+ (c_{4, 0} + c_{4, 1} t + c_{4, 2} t^{2} + c_{4, 3} t^{3}) \cdot e^{- k_{2} \cdot t}

sein müssen.

Für solch einen Ansatz könnte man dann zunächst untersuchen für welche

k \in ℂ

der Ansatz

y (x) = e^{k t}

eine Lösung des DGL-Systems liefert, um zunächst

k_{1}

bzw.

k_{2}

zu bestimmen.

\\\\

Wenn du anfängst das Gleichungssystem zu lösen, so kannst du zum Beispiel so anfangen, wie ledum und

y^{''''} + 4 y^{''} + 2 y = 0

herzuleiten.

Die Charakteristische Gleichung ist dann

k^{4} + 4 k^{2} + 2 = 0,

womit du

k^{2} = \frac{- 4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 2} = - 2 \pm \sqrt{2}

erhälst, also die Lösungen

k_{1} = i \sqrt{2 + \sqrt{2}}

k_{2} = i \sqrt{2 - \sqrt{2}}

k_{3} = - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}

k_{4} = - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}

.

Da alles einfache Nullstellen sind, ist die allgemeine Lösung für

y

gegeben durch

y (x) = c_{1} \cdot e^{i \sqrt{2 + \sqrt{2}} x} + c_{2} \cdot e^{i \sqrt{2 - \sqrt{2}} x} + c_{3} \cdot e^{- i \sqrt{2 + \sqrt{2}} x} + c_{4} \cdot e^{- i \sqrt{2 - \sqrt{2}} x}

was man (für reelle Lösungen besser geeignet) auch in der Form

y (x) = d_{1} \cdot cos (\sqrt{2 + \sqrt{2}} x) + d_{2} \cdot sin (\sqrt{2 + \sqrt{2}} x) + d_{3} \cdot cos (\sqrt{2 - \sqrt{2}} x) + d_{4} \cdot sin (\sqrt{2 - \sqrt{2}} x)

schreiben kann.

Die zugehörige Lösung für

w

erhält man dann wegen

y^{''} = w - y

über

w = y^{''} + y

.

Damit hast du aber das DGL-System dann schon komplett gelöst, ohne etwas zu programmieren, was ja anscheinend nicht gewollt ist, oder?

FabianVu aktiv_icon

00:43 Uhr, 21.01.2017

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Die Aufgabe ist tatsächlich die Lösung mithilfe von Python zu programmieren ;-) Dies sollte dann aus einem Lösungsansatz folgen.

mihisu aktiv_icon

03:18 Uhr, 21.01.2017

Falls es dich interessiert und du das selbst noch nicht ausprobiert hast:

Ich habe versucht das DGL-System in Python mit dsolve() aus der sympy-Bibliothek zu lösen.

Ich habe den Rechenvorgang dann nach ca. 5 Minuten irgendwann unterbrochen. (Da bin ich ja von Hand schneller!) So wie es aussieht, hängt das Skript an dem Schritt, wo mit rootof() die Lösungen der charakteristischen Gleichung

k^{4} + 4 k^{2} + 2 = 0

des Systems berechnet werden.

Ich habe jetzt nicht genau nachgeprüft, warum genau rootof() da hängt.
Vor allem bekäme man, wenn man die charakteristische Gleichung mit solve() statt mit rootof() löst, sofort die Lösungen.

Wenn das Problem nicht wäre, hätte ich demnach einfach das im ersten Bild angehängte Skript laufen lassen.

Wenn das DGL-System nur leicht anders aussehen würde (ich habe mal das

w

in der ersten Gleichung durch ein

- w

ersetzt), so dass rootof() leichter die Lösungen der charakteristischen Gleichung berechnen kann, würde das Skript nach etwa einer halben Sekunde das Ergebnis liefern. (Siehe: Zweites Bild im Anhang)

\\\\

Auch wenn du da jetzt etwas mehr von Hand mit einem Lösungsansatz programmierst, müsste man wohl an igrendeiner Stelle die Gleichung

k^{4} + 4 k^{2} + 2 = 0

lösen. Das solltest du dann wohl lieber nicht rootof() überlassen.

FabianVu aktiv_icon

04:07 Uhr, 21.01.2017

Wir hatten in der Vorlesung dieses Differentialgleichungssystems mit einem inhomogenen Teil. Da hatte unser Prof uns schon gezeigt, dass das Ergebnis mit dsolve über

100.000

Zeichen hat. Ich hatte das heute mal aus Spaß ausgetestet und hatte dafür fast eine Minute zum scrollen gebraucht :-D)

Gefragt war eigentlich nur ein Fundamentalsystem des homogenen Differentialgleichungssystems. Da hatte ich den Ansatz nicht mehr in Erinnerung, da dieser letztes Semester drankam.

Vielen Dank nochmals für deine Mühe!

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