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Ansatz für Partialbruchzerlegung - 4. Grades

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partialbruchzerlegung

akkordi aktiv_icon

12:15 Uhr, 24.02.2011

Hallo, ich habe folgendes Problem:

man soll das Integral

\int \frac{10 \cdot x^{3} - 22 \cdot x^{2} + 14 \cdot x - 14}{x^{4} - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 3}

berechnen.

Durch Polynomdivision des Nenners bin ich darauf gekommen, dass man

x^{4} - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 3

auch als

(x - 1) \cdot (x - 3) \cdot (x^{2} + 1)

schreiben kann.

Nun meine Frage: Wie lautet der Ansatz auf der RECHTEN Seite für die Partialbruchzerlegung, mit meinem bisherigen Ansatz

\frac{10 \cdot x^{3} - 22 \cdot x^{2} + 14 \cdot x - 14}{x^{4} - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 3} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x^{2} + 1}

komme ich leider nicht weiter.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

12:20 Uhr, 24.02.2011

Hallo

beim 3. Bruch muß man den Ansatz etwas abändern. Probiere mal

\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C \cdot x + D}{x^{2} + 1}

als Ansatz, dann sollte es klappen.

Viele Grüße
Yokozuna

akkordi aktiv_icon

12:36 Uhr, 24.02.2011

Ich versteh deinen Ansatz, komm aber anscheinend beim Ausmultiplizieren trotzdem durcheinander.

Wo liegt hier der Fehler?

10 \cdot x^{3} - 22 \cdot x^{2} + 14 \cdot x - 14 = (A \cdot x - 3 \cdot a) \cdot (x^{2} + 1) + (B \cdot x - B) \cdot (x^{2} + 1) + (C \cdot x + D) \cdot (x^{2} - 4 \cdot x + 3) =

A \cdot x^{3} - 3 \cdot A \cdot x^{2} + A \cdot x - 3 \cdot A + B \cdot x^{3} - B \cdot x^{2} + B \cdot x - B + C \cdot x^{3} - 4 \cdot C \cdot x^{2} + 3 \cdot C \cdot x + D \cdot x^{2} - 4 \cdot D \cdot x + 3 \cdot D

Die dann abgeleiteten Gleichungen brauche ich ja nicht extra posten...

Yokozuna aktiv_icon

13:41 Uhr, 24.02.2011

Hallo,

also das ist alles richtig, was da steht. Wenn man das noch nach Potenzen zusammenfasst, bekommt man:

x^{3} \cdot (A + B + C) + x^{2} (- 3 A - B - 4 C + D) + x \cdot (A + B + 3 C - 4 D) + (- 3 A - B + 3 D) = 10 \cdot x^{3} - 22 \cdot x^{2} + 14 \cdot x - 14

Daraus erhält man durch Koeffizientenvergleich die 4 Gleichungen:
I:

A + B + C = 10

II:

- 3 A - B - 4 C + D = - 22

III:

A + B + 3 C - 4 D = 14

IV:

- 3 A - B + 3 D = - 14

Die muß man jetzt nur noch nach

A, B, C

und

D

auflösen.

Viele Grüße
Yokozuna

akkordi aktiv_icon

13:53 Uhr, 24.02.2011

Dankeschön, jetzt hab ich das Ergebnis:

A = 3, B = 5, C = 2, D = 0

.
Anscheinend hatte ich mich immer wieder verrechnet...

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