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Ansatz für Partikuläre Lösung /Störfunktionen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Linerade Differentialgleichungen n´ter Ordnung

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21:20 Uhr, 05.06.2011

Hallo es geht um eine einfache DGL 3´ter Ordnung der Form
y´´´+ y´

= 9 \cdot x^{2}

mit den Lösungen der charakteristischen Gleichung

λ_{1} = 0; λ_{2} = 1 \cdot J; λ_{3} = - 1 \cdot J

und der homogenen Lösung

y_{h} = C_{1} + C_{2} sin (x) + C_{3} cos (x)

Nun mein Problem bei der Bestimmugn des richtigen Ansatzes.
Die Störfunktion ist

g (x) = 9 x^{2}

und damit der allgemeinen Form

a x^{2} + b x + c

Die Koeffizienten der obigen DGL y´´´

+ a_{2} \cdot

y´´

+ a_{1} \cdot

y´+

a_{0} \cdot y

sind

a_{2} = 0, a_{1} = 1

und

a_{0} = 0

Für einen Lösungsansatz

y_{p}

gilt ja:

[Q_{n} (x)

sei ein Polynom vom Grade

n]

y_{p} = Q_{n} (x)

wenn

a_{0}

ungleich 0 ist oder

y_{p} = x^{k} \cdot Q_{n} (x)

wenn

a_{0} = a_{1} = . .

= a_{k - 1} = 0

ist

Bei der DGL y´´´+ y´

= 9 \cdot x^{2}

ist ja

a_{0} = 0

und

a_{1} = 1,

sowie

a_{2} = 0

Ich müsste demnach

y_{p} = x^{k} \cdot Q_{n} (x)

verwenden, doch wie "groß" ist

k

?
Also gehe ich mal davon aus das

Q_{n} (x) = a x^{2} + b x + c

anzusetzen richtig ist.

Aber es ist ja

a_{1}

ungleich

0,

wie habe ich dann

a_{0} = a_{1} = . .

= a_{k - 1} = 0

zu interpretieren ?

Banal ich weiß, aber ich checks gerade echt nicht !

Danke für eure Hilfe im voraus.

Gruß

NEPHI

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