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Ansatz vom Typ der rechten Seite

Universität / Fachhochschule

Tags: inhomogene Differentialgleichung, kein Resonanzfall, Resonanzfall

lifescience aktiv_icon

12:01 Uhr, 27.01.2017

Hallo,
folgende DGL ist gegeben:
y"-y

= (2 x + 6 x^{2}) \cdot e^{- x}

Mittels charakteristischem Polynom komme ich auf die reellen NS

t = 1

und

t = - 1

.
Es ergibt sich also für mich die homogen Lösung
yh=

c 1 \cdot e^{x} + c 2 \cdot e^{- x}

Nun soll ich mittels Ansatz vom Typ der rechten Seite weiterverfahren.
Als erstes soll geprüft werden, ob es sich hierbei um einen Resonanzfall handelt oder nicht.
Falls

α + i β = - 1

oder 1 (also das Ergebnis einer unserer NS) handelt es sich laut Definition um einen Resonanzfall.
In der Lösung steht, es handle sich um einen Resonanzfall. Weiß jemand wie man hier draufkommt?
Wie muss man danach hier weiterverfahren?
Danke erstmal an alle

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

14:25 Uhr, 27.01.2017

Du hast in deiner Inhomogenität (rechte Seite) ein

e^{- x},

also einen Faktor

- 1

vor dem

x

im Exponenten. Nun schaust du, ob diese

- 1

(dies entspricht wohl deinem

α + i β,

du hast leider nicht geschrieben, was bei euch mit diesem

α + i β

bezeichnet wird) eine Nullstelle des chrakteristischen Polynoms ist. Ja das ist der Fall. Also handelt es sich um einen Resonanzfall.

Angenommen du hättest stattdessen die Differentialgleichung

y^{''} - y = (2 x + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}

gegeben. Dann wäre

- 2

keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, weshalb dann kein Resonanzfall vorliegen würde.

\\\\

Zum Weiteren vorgehen: Als Ansatz für eine rechte Seite der Form

(a_{0} + a_{1} x + ... + a_{d} x^{d}) \cdot e^{k x}

kann im Resonanzfall

y_{s} = (b_{0} + b_{1} x + ... + b_{d} x^{d}) \cdot x^{m} \cdot e^{k t}

als spezielle Lösung angesetzt werden, wobei

m

die Vielfachheit der Nullstelle

k

im chrakteristischen Polynom ist.

Also im konkreten Fall hast du einen Resonanzfall, wobei

k = - 1

eine einfache

(\to m = 1)

Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Auf deiner rechten Seite steht vor dem

e^{- x}

ein Polynom vom Grad

d = 2

.
Also kann man hier den folgenden Ansatz betrachten:

y_{s} = (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2}) \cdot x^{1} \cdot e^{- 1 \cdot x}

y_{s} = (b_{0} x + b_{1} x^{2} + b_{2} x^{3}) \cdot e^{- x}

Nun setzt du

y_{s}

in die Differentialgleichung ein und ermittelst durch Koeffizientenvergleich passende Koeffizienten

b_{0}, b_{1}, b_{2}

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