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Ansatz zur Partialbruchzerlegung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Schunki aktiv_icon

11:32 Uhr, 23.12.2009

Moin Moin!

Ich arbeite hier gerade ein paar alte Klausuren durch und bin mir hier gerade nicht mit meinem Funktionsplotter einig!

Also.....

Ich habe folgende Funktion bei der ich den Ansatz zur Partialbruchzerlegung bestimmen soll:

$y = \frac{21 x^{3} - 25 x^{2} + 320 x + 400}{x^{6} + 9 x^{4} - 400 x^{2}}$

Hier muss ich mich ja erst einmal um die Nullstellen des Nenners kümmern um den richtigen Ansatz zu finden. Dazu hab ich erst einmal $x^{2}$ im Nenner ausgeklammert und den Nenner gleich 0 gesetzt. Also:

$N e n n e r : 0 = x^{2} (x^{4} + 9 x^{2} - 400) \Rightarrow x_{1} = 0$

Wenn ich jetzt die obenstehende Klammer gleich Null setze und $x^{2}$ in Z substituiere bekomme ich folgende Funktion

$0 = Z^{2} + 9 Z - 400$

Hierauf die PQ Formel angewendet erhalte ich für

$Z_{2} = 16; Z_{3} = - 25$

rücksubstiuiert erhalte ich jedoch nur eine weitere Nullstelle bei x=4 da die Wurzel aus -25 nicht definiert ist!

Somit habe ich zwei Nullstellen errechnet: 0 und 4!!!!

Wenn ich den Nenner jedoch wie ganz oben in einen Funktionsplotter eingebe wird mir eine stark zusammengedrückte Parabel mit nur einer Nullstelle in x=0 angezeigt!

Wer hat jetzt recht! Meine Funktionsplotter oder ich????

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pleindespoir aktiv_icon

11:47 Uhr, 23.12.2009

Du hast noch eine dritte Lösung des Nennerpolynoms: -4

Wenn Du die Quadratwurzel ziehst, entstehen zwei mögliche Werte!

Die Nullstellen des Nenners können Polstellen sein - das musst Du aber erst mal überprüfen, indem Du auch den Zählerpolynom diskutierst. Allein aus den Nullstellen des Nenners kann man nicht sagen, wie die Funktion aussehen wird.

Schunki aktiv_icon

11:56 Uhr, 23.12.2009

Mit der -4 hast Du natürlich recht!

Aber den Teil der im Zähler steht betrachte ich erst einmal überhaupt nicht! Es geht mir hier erst einmal nur um die Funktion des Nenners!

Angenommen ich hätte keine gebrochen rationale Funktion sondern nur den Nennere als einfache Funktion in der Form

$f (x) = x^{6} + 9 x^{4} - 400 x^{2}$

Dann muss ich meine Nullstellen doch trotzdem wie oben beschrieben berechnen und kommen auf 0,4 und -4. Aber der Funktionsplotter gibt mir trotzdem nur die 0 an!!!

Warum???

michaL aktiv_icon

23:05 Uhr, 23.12.2009

Hallo Andreas,

du hast bei der Substitution eine Lösung verloren:

Z = x^{2} = 16 \overset{}{\Leftrightarrow} (x = - 4 \lor x = 4)

Warum du nun weder bei

x = - 4

noch bei

x = 4

eine Nullstelle siehst, könnte mit den großen Zahlen (400) zu tun haben. Kannst du zwei (offenbar) senkrechte Geraden durch

x = - 4

bzw.

x = 4

erkennen? Die gehören zum Funktionsgraphen und bilden die beiden weiteren reellen Nullstellen.

Mfg Michael

pleindespoir aktiv_icon

01:40 Uhr, 24.12.2009

Wenn der Zählerpolynom, den du ja offensichtlich mit aller Gewalt nicht betrachten willst, auch Nullstellen hat, die denen des Nennerpolynoms gleich sind ...

... aber was rede ich denn - du willst es ja nicht hören ...

Kosekans aktiv_icon

01:52 Uhr, 24.12.2009

"Dann muss ich meine Nullstellen doch trotzdem wie oben beschrieben berechnen und kommen auf

0,4

und

- 4

. Aber der Funktionsplotter gibt mir trotzdem nur die 0 an!!!
Warum???"

Vielleicht Darstellungsprobleme beim Plotter, da die Steigung in den Nullstellen ziehmlich gross ist. Pleindespoir hat übrigens Recht. Wenn du dir schon das Nennerpolynom vorher anschaust, kannst du auch gleich den Zähler anschauen um auf hebbare Definitionslücken zu überprüfen, was hier aber nicht der Fall ist.

pleindespoir aktiv_icon

02:04 Uhr, 24.12.2009

wo ist das Problem?
du musst nur das Verhältnis ein wenig zurechtschieben, um die funktion gut sehen zu können - siehe Zeichnung da unten:

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Kosekans aktiv_icon

02:16 Uhr, 24.12.2009

Das Problem ist, dass man sich - egal ob beim Taschenrechner oder Funktionsplotter, übrigens auch bei mechanischen oder elektrischen Messungen - immer darüber im klaren sein sollte, was denn rauskommen soll.
Mein Meister in der Ausbildung hat immer gesagt, wenn man bei einer Messung keinen Sollwert oder Toleranz hat, braucht man auch nicht zu messen.

Wenn ich drei Nullstellen ausgerechnet habe und mir wird nur eine angezeigt, ist es erstmal keine gute Idee die Rechnung in Frage zu stellen.

pleindespoir aktiv_icon

02:23 Uhr, 24.12.2009

Dem stimme ich voll zu!
Leider wird heute anstelle die Kurvendiskussion zuerst komplett zu machen und dann zu schauen ob es stimmt, die "Formel" in den GTR gehämmert und sich dann gewundert.

Kluge Pädagogen setzen dann Zahlenwerte ein, deren Darstellung auf den Briefmarkendisplays bei hirnlosem Einhämmern in die Hose geht - wie man hier sieht ...

Kosekans aktiv_icon

03:27 Uhr, 24.12.2009

Auf jeden Fall vertraust du mal auf deine 3 Nullstellen und setzt an:

\frac{A \cdot x + B}{x^{2} + 25} + \frac{C}{x} + \frac{D}{x^{2}} + \frac{E}{x - 4} + \frac{F}{x + 4} = \frac{21 x^{3} - 25 x^{2} + 320 x + 400}{x^{6} + 9 x^{4} - 400 x^{2}}

Schunki aktiv_icon

10:57 Uhr, 24.12.2009

Also ich fass es mal zusammen.....

meine Rechnung ist richtig und mein Plotter ist nicht zu gebrauchen!

Vielen Dank für Eure Hilfe und noch ein frohes Fest!

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