Anstieg, Anstiegswinkel

Hallo,

berechnen Sie von der Fkt. z=f(x,y)=(2y-x)*ln(x*y), an der Stelle P(1,1,0) den max. Fkt.-anstieg! Welcher Anstiegswinkel ergibt sich daraus zur x-y-Ebene?

Ansatz: Gradient zeigt in Richtung des größten Anstiegs:

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\frac{2\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-1\\ 2*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}$

wie weiter...?

Der Gradient gibt ja nicht nur die Richtung des steilsten Anstiegs an, sondern über

seinen Betrag auch, wie stark die Funktion in Gradientenrichtung ansteigt, also

${\displaystyle \left|\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right|=\mathrm{tan<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$.

Also ist der Anstieg ${\displaystyle \sqrt{2}}$ und der Anstiegswinkel ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$=arctan(${\displaystyle \sqrt{2}}$)?

Thank you very much!!!