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Anstieg Kreistangente implizite Differentiation

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Anstieg, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Implizite Differentiation, kreistangente

83gp-de aktiv_icon

12:17 Uhr, 25.04.2010

Hallo,

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Bestimmen Sie durch implizite Differentiation der Kreisgleichung

(x

–

2)^{2} + (y

–

1)^{2} = 16

den Anstieg der Kreistangente im Punkte

P 0 = (5; y 0 > 0)

des Kreises.

Ich muss ja zunächst die Ableitung bilden aber was muss ich anschließend machen?

Alx123 aktiv_icon

12:28 Uhr, 25.04.2010

Hallo,
du differenzierst erst die Gleichung implizit, dannach stellst du sie nach

y^{'}

um und setzt dann die Werte

x = 5, y = y_{0}

ein.

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13:37 Uhr, 25.04.2010

Okay, also als Ableitung habe ich:

2 (x - 2) \cdot 1 + 2 (y - 1) \cdot 1 \cdot y' = 0

oder??

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13:39 Uhr, 25.04.2010

Ja.

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13:48 Uhr, 25.04.2010

Vereinfacht wäre das dann

2 x + 2 y \cdot y' - 6 = 0

Wenn ich jetzt

x (x = 5)

und

y (y > 0)

einsetze, was setze ich dann aber für

y

bzw

y'

ein?

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13:55 Uhr, 25.04.2010

Die Vereinfachung stimmt nicht denn 2y'(y-1)=2y'y-2y'
Damit kann diese -6 nie zustande kommen.
Ich würde da auch nichts ausmultiplizieren sondern direkt nach y' auflösen.
P0 liegt ja auf der Kreislinie, damit kriegst du y0 durch einsetzen von x0=5 in die Kreisgleichung.

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14:09 Uhr, 25.04.2010

nach

y'

aufgelöst:

y' = \frac{- 2 x + 2}{2 (y - 1)}

stimmt eher nicht oder?

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14:13 Uhr, 25.04.2010

-2x+4 im Zähler

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14:21 Uhr, 25.04.2010

ich hab für

y

1,225

raus.
Ist das richtig?

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14:25 Uhr, 25.04.2010

Nein.
Und ich würde auch nicht mit gerundeten Zahlen rechnen, das verfälscht das Ergebnis am Ende nur.

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14:31 Uhr, 25.04.2010

Hm okay.

Also ich hab gerechnet:

{(5 - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16

9 + y^{2} - 2 y + 1 = 16

y^{2} - 2 y = 6

bis hier müsste es doch stimmen oder?

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14:32 Uhr, 25.04.2010

Ja, jedoch kann man ja auch direkt (y-1)²=7 schreiben und dann die Wurzel ziehen.

Alx123 aktiv_icon

14:35 Uhr, 25.04.2010

Also, erst ableiten:

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 16 \Rightarrow 2 x - 4 + 2 y^{'} \cdot y - 2 = 0

umstellen:

y^{'} = \frac{3 - x}{y}

einsetzen:

y^{'} (5) = \frac{- 2}{1 + \sqrt{7}}

edit:

Habe mich selbst verrechnet, habs jetzt korregiert.

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14:40 Uhr, 25.04.2010

Welche Lösung stimmt denn?
Oder kommen beide aufs selbe raus?

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14:41 Uhr, 25.04.2010

Er hat jetzt irgendwas anderes dazwischen gepostet, das passt jetzt nicht zu deinem Schritt.

83gp-de aktiv_icon

14:42 Uhr, 25.04.2010

Ah okay.

Also ich hab dann für

y

etwa

3,6458

raus.

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14:45 Uhr, 25.04.2010

Naja wenn du lieber ungenaue Werte nimmst dann musst du halt mit einem ungenauen Ergebnis bzw Punktabzug leben ;-)
Jetzt nur noch die Werte für x und y in deiner nach y' aufgelösten Gleichung einsetzen.

83gp-de aktiv_icon

14:50 Uhr, 25.04.2010

soll ich dann lieber mit