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Antisymmetrie und Symmetrie

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation.

 
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Joel1

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14:57 Uhr, 28.03.2012

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Hallo,
Ich habe eine Frage zu Relationen bzw. Symmetrie/Antisymmetrie.

Antisymmetrie:Für alle x,y gilt xRy und yRx daraus folgt x=y.
A:{a,b,c}R:{(a,a)(b,b)(c,c)(a,b)(b,c)}
Was ist hiervon Antisymmetrisch und warum?

Symmetrie:Für alle x,y,gilt xRy ⇔ yRx.
A:{a,b,c}R:{(a,a)(b,b)(c,c)(a,c)(c,a)}
Was ist hiervon Symmetrisch und warum?

Wenn Symmetrie oder Antisymmetrie vorhanden ist, kann dann das andere ausgeschlossen werden?


Ich wäre euch für eine Beantwortung miener Frage sehr dankbar.

Liebe Grüße


Lösungsansatz: Sind ausschließlich identische (x,y) Werte (0,0)(1,1)(2,2) für die Antisymmetrie verantwortlich oder habe ich das falsch verstanden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

20:27 Uhr, 28.03.2012

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Hallo,

eine Relation kann symmetrisch, antisymmetrisch oder keines von beiden sein; dies ist immer eine Eigenschaft der ganzen Relation, daher kann man nicht fragen, was „davon“ symmetrisch ist.

Erst der zweite Teil:
Sei also A={a,b,c} eine Menge und die Relation R durch {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)} definiert (also gelten genau aRa,…,cRa und nicht mehr). Die Frage ist nun, ob R symmetrisch ist. Dazu müssen wir alle geltenden Relationen hernehmen und nachschauen, ob sie immer noch gelten, wenn sie vertauscht werden. Dies stimmt hier: Beim vertauschen der ersten drei passiert nichts und die letzten beiden ergeben sich gegenseitig – also, für alle x,y∈A haben wir erhalten: Immer wenn xRy gilt, so gilt auch yRx. Somit ist R symmetrisch.

Zum ersten Teil:
Sei A wie oben und diesmal die Relation R durch {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c)} definiert.
(Das ist leider kein gutes Beispiel, um das ganze besser zu verstehen; es ist eher eine Übung in Logik.)
Am besten machst Du einfach eine Liste mit allen fünf Möglichkeiten. Schreibe xRy∧yRx⇒x=y, wobei Du links die Tupel aus R durchlaufen lässt und den Rest ergänzt. Jetzt trägst Du überall „w“ oder „f“ ein und schaust nach, ob die Aussage insgesamt wahr ist. Beispiel: Wenn Du (a,b) nimmt, bekommst Du auf diese Art w∧f→f. Dies ist eine wahre Aussage. Du wirst sehen, dass alle fünf Aussagen wahr sind, sodass die Relation antisymmetrisch ist.

Enthält R nur „doppelte“, dann ist die Relation automatisch symmetrisch.

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