Anwednungsaufgaben Differentialrechnung

Bäume geb aufgrund der Fotosynthede Sauerstoff an ihre Umgebung ab. Die abgegebene Sauerstoffmenge hängt von der Tageszeit bzw. vom Licht ab. Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=}$ -1,2t³+24t²+10t gibt näherungsweise die Gesamtsauerstoffmenge in Litern an, die ein Baum im Laufe eines Tages nach dem Sonnenuntergang ${\displaystyle (\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0)}$ abgibt.


${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ Bestimme V´(4). Welche Bedeutung hat V´(4) im Sachzusammenhang?????

V´(t) ist nicht schwer zu berechnen damit habe ich auch keine Probleme (V´(t)= -3,6t²+48t+10; V´(4)= ${\displaystyle \mathrm{144,4}}$
Aber ich kann bei Anwendungsaufgaben nie! den Sachzusammenhang erkennen.
Ist es vielleicht so, dass 4 Stunden nach Sonnenaufgang 144,4 Liter o2 dazu gekommen sind?

${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ Bestimme den Zeitpunkt ${\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0$, für den die Ableitung der Funktion V Null ist. Interpretiere den Punkt P(${\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0$; V(${\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0$)) im Sachzusammenhang. SChränke den Definitionsbereich der Funktion V sinnvoll ein.

Auch hier fällt es mir schwer, den Sachzusammenhang zu erkennen. Rechnen würde ich:<br id="elCustomTag9" /> v´(t) = 0

0 = -3,6t²+48t+10

t1 = 13,54 und t2= - 0,21

Der Definitionsbereich wäre also hier sinnvoll wenn x >0 ?

Sachzusammenhang: Ich habe keine Ahnung :-( , vielleicht Hochpunkt, also größte Produktionsrate??

c)Bestimme näherungsweise den Zeitpunkt, an dem die Sauerstoffproduktionsgeschwindigkeit des Baumes am größten ist. Wie lässt sich das ERgebnis im Sachzusammmenhang begründen? Wie groß ist die Sauerstoffmenge an diesem Tag zu diesem Zeitpunkt?

Hier würde ich den Hochpunkt berechnen mit hineichender und notwendiger Bedingung also V´(t) = 0 etc.

HP (13,54; 1555,59)

Zeitpunkt: Nach 13,54 Stunden ist die Sauerstoffmenge 1555,59 Liter

Kann mir jemand helfen?

Hallo Mathtype.

Für den Sachzusammenhang müssen wir ein wenig überlegen.
Wir fangen an mit: Was beschreibt unsere Funktion?

In diesem Fall beschreibt deine Funktion ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ das Volumen ${\displaystyle {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$, dass ein Baum nach einer gegebenen Zeit ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ produziert hat.

Punkt b) hätte ich genauso gerechnet. Man soll offensichtlich die erste Ableitung bilden und diese dann Nullsetzen; also berechnet man die Extremstellen der Funktion ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$.
Du hast fast richtig vermutet, aber ich würde hier eher sagen, dass der Baum zu diesem Zeitpunkt am meisten ${\displaystyle {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$ produziert.
Antwort "Nach 13,54 Stunden produziert der Baum das größte Volumen an ${\displaystyle {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$" - oder so ähnlich. :-)

Bei Punkt c) allerdings, ist die Sauerstoffproduktionsrate gefragt. Also wie viel Volumen ${\displaystyle {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$ der Baum pro Zeiteinheit produziert.
Und man möge mich schnellstens korrigieren sollte ich falsch liegen, aber die erste Ableitung (= die Steigung der Tangente), sollte dir genau die Funktion liefern, die diese Produktionsrate beschreibt.

D.h. was du suchst, ist der Zeitpunkt an dem du am meisten ${\displaystyle {\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$ pro Zeiteinheit produzierst - wie du das berechnest weißt du und wie du zu dieser Funktion kommst, weißt du nun auch.


EDIT:
Sofern meine Erklärung richtig ist und du Aufgabe c) verstanden hast, weißt du auch wie Aufgabe a) zu beantworten ist.

Das versteh ich jetzt nicht mehr. MIt der ersten Ableitung berechnen wir ja die Steigung und die Extrempunkte? Aber ich weiß trotzdem nicht was ich jetzt machen muss

Der Zeitpunkt der größten 02 Produktionsgeschwindigkeit. also wollen wir irgendein t errechnen. und die Gesamtmenge am diesem Zeitpunkt, also ein V-Wert.

Vielleicht soll man ja den WEndepunkt berechnen. Da köme dann (10/3; 9,10) raus. Aber ich verstehe dann nicht warum man das machen muss. Das ausrechnen ist generell weniger ein PRoblem für mich...

mmmh, ich werde morgen mal im Unterricht lauschen und dann bescheid geben was richtig ist , ok?