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Anwendung Beppo Levi

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Beppo Levi, Integration, Messbarkeit, volum

LucaW aktiv_icon

18:33 Uhr, 01.01.2013

Hi und frohes Neues euch allen erstmal!

Ich stehe gerade vor der Herausforderung zum ersten Mal Beppo Levi anzuwenden und bin etwas überfragt, da wir dazu auch leider bisher kein Beispiel gemacht haben..

Aufgabe:

M := {(x, y, z) \in ℝ^{3} : 0 < y^{2} + x^{2} < \frac{1}{1 + x^{2}}}

"Zeigen Sie, dass M Lebesgue-messbar ist und berechnen Sie das Volumen von M. (Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Beppo Levi)"

Meine Idee bisher:
Zunächst setze ich

x

als Konstante fest und berechne das Volumen von

M_{x}

eben ausschließlich in Abhängigkeit von

y

und

z

(denn hier kann Fubini angewandt werden)
Schließlich erhalte ich (beachte

c := \frac{1}{1 + x^{2}}

\int_{- \sqrt{c}}^{\sqrt{c}} \int_{- \sqrt{c - z^{2}}}^{\sqrt{c - z^{2}}} 1 d y d z = 2 π c = \frac{2 π}{1 + x^{2}}

und darausfolgend:

\int_{ℝ} \frac{2 π}{1 + x^{2}} d x = ?

Jetzt gilt es dann wohl hier eine monoton steigende, Lebesque-intbare Funktionenfolge zu finden, die gegen

\frac{2 π}{1 + x^{2}}

konvergiert, allerdings bin ich damit gerade etwas überfordert....stimmt der Weg bisher denn? Und wenn ja, kann mir jemand einen Hinweis darauf geben wie es von hier aus weitergeht?

VIELEN DANK SCHONMAL!!

Mfg,
Luca

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