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Anwendung Lemma von Gronwall

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

JaBaa aktiv_icon

15:27 Uhr, 16.02.2021

Hallo ans Forum ich weiß bei dieser Aufgabe in einer Übungsklausur nicht weiter.

Es seien $n \in N, I \subset ℝ$ ein Intervall, $t_{0} \in I, A : I \to ℝ^{n \times n},$ sowie $b : I \to ℝ^{n}$ stetige Funktionen und $y_{1}, y_{2} \in ℝ^{n}$ . Zeigen Sie : Sind $u_{i} : I \to ℝ^{n}, i = 1,2,$ die Lösungen der Anfangswertprobleme

$y^{'} (t) = A (t) y (t) + b (t)$
$y (t_{0}) = y_{i},$
$i = 1,2,$

so gilt für alle $t \in I$

$| u_{1} (t) - u_{2} (t) | \leq | y_{1} - y_{2} | \cdot e^{B}$ mit $B = \int_{t_{0}}^{t} | | A (s) | |$ ds

$| | \cdot | |$ bezeichnet die zu $| \cdot |$ gehörende Matrixnorm im $ℝ^{n}$

und einen Hinweis das Lemma von Gronwall zu verwenden.

Lemma von Gronwall:

Seien $a, t_{0}, T \in ℝ$ mit $t_{0} < T$ gegeben und seien $u, v \in C ([t_{0}, T], ℝ)$ zwei Funktionen mit $v \geq 0$ auf ganz $[t_{0}, T]$ . Gilt für alle $t \in [t_{0}, T]$ die Ungleichung

$u (t) \leq a + \int_{t_{0}}^{t} u (s) v (s)$ ds,

so folgt für alle $t \in [t_{0}, T]$

$u (t) \leq a \cdot e^{C}$ mit $C = \int_{t_{0}}^{t} v (s)$ ds

Im Grunde muss ich eigentlich nur folgende Ungleichung zeigen (nach Lemma von Gronwall):

$| u_{1} (t) - u_{2} (t) | \leq | y_{1} - y_{2} | + \int_{t_{0}}^{t} | u_{1} (s) - u_{2} (s) | \cdot | | A (s) | |$

hier gilt schonmal $| | A (s) | | \geq 0$ was eine Vorraussetung ist.

Vielmehr habe ich leider nicht geschafft, vielleicht hat jemand von euch eine Idee ?

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:11 Uhr, 16.02.2021

Nun, $(u_{1} - u_{2})^{ʹ} = u_{1}^{ʹ} - u_{2}^{ʹ} = A (u_{1} - u_{2})$ , da es beide Lösungen sind.
Andererseits $(u_{1} - u_{2}) (t) - (u_{1} - u_{2}) (t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t} (u_{1} - u_{2})^{ʹ} (s) d s$ .
Wenn wir das kombinieren, bekommen
$∣ u_{1} (t) - u_{2} (t) ∣ \leq ∣ u_{1} (t_{0}) - u_{2} (t_{0}) ∣ + ∣ \int_{t_{0}}^{t} (u_{1} - u_{2})^{ʹ} (s) d s ∣ = ∣ y_{1} - y_{2} ∣ + ∣ \int_{0}^{t} A (s) (u_{1} (s) - u_{2} (s)) d s ∣ \leq$

$\leq ∣ y_{1} - y_{2} ∣ + \int_{0}^{t} ∣ A (s) (u_{1} (s) - u_{2} (s)) ∣ d s \leq ∣ y_{1} - y_{2} ∣ + \int_{0}^{t} ∥ A (s) ∥ \cdot ∣ u_{1} (s) - u_{2} (s) ∣ d s$

JaBaa aktiv_icon

23:02 Uhr, 16.02.2021

Ach sowas ähnliches hattest du mir schonmal in Complex ana gezeigt. Wenn man es sieht wirkt es so einfach $: ($ . Dankeschön für deine Antwort, vielleicht komme ich nächstes mal selbst drauf ;-) .

Viele Grüße

1530122

1530075

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