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Anwendung Lemma von Gronwall

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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15:27 Uhr, 16.02.2021

Hallo ans Forum ich weiß bei dieser Aufgabe in einer Übungsklausur nicht weiter.

Es seien

n \in N, I \subset ℝ

ein Intervall,

t_{0} \in I, A : I \to ℝ^{n \times n},

sowie

b : I \to ℝ^{n}

stetige Funktionen und

y_{1}, y_{2} \in ℝ^{n}

. Zeigen Sie : Sind

u_{i} : I \to ℝ^{n}, i = 1,2,

die Lösungen der Anfangswertprobleme

y^{'} (t) = A (t) y (t) + b (t)

y (t_{0}) = y_{i},

i = 1,2,

so gilt für alle

t \in I

| u_{1} (t) - u_{2} (t) | \leq | y_{1} - y_{2} | \cdot e^{B}

mit

B = \int_{t_{0}}^{t} | | A (s) | |

| | \cdot | |

bezeichnet die zu

| \cdot |

gehörende Matrixnorm im

ℝ^{n}

und einen Hinweis das Lemma von Gronwall zu verwenden.

Lemma von Gronwall:

Seien

a, t_{0}, T \in ℝ

mit

t_{0} < T

gegeben und seien

u, v \in C ([t_{0}, T], ℝ)

zwei Funktionen mit

v \geq 0

auf ganz

[t_{0}, T]

. Gilt für alle

t \in [t_{0}, T]

die Ungleichung

u (t) \leq a + \int_{t_{0}}^{t} u (s) v (s)

ds,

so folgt für alle

t \in [t_{0}, T]

u (t) \leq a \cdot e^{C}

mit

C = \int_{t_{0}}^{t} v (s)

ds

Im Grunde muss ich eigentlich nur folgende Ungleichung zeigen (nach Lemma von Gronwall):

| u_{1} (t) - u_{2} (t) | \leq | y_{1} - y_{2} | + \int_{t_{0}}^{t} | u_{1} (s) - u_{2} (s) | \cdot | | A (s) | |

hier gilt schonmal

| | A (s) | | \geq 0

was eine Vorraussetung ist.

Vielmehr habe ich leider nicht geschafft, vielleicht hat jemand von euch eine Idee ?

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."