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Anwendung Mittelwertsatz

Universität / Fachhochschule

anonymous

10:15 Uhr, 23.04.2010

Mit dem Mittelwertsatz beweise man:

a)

Die Ableitung von

{(x \cdot (x - 1))}^{2}

besitzt wenigstens eine Nullstelle zwischen 0 und 1.

b)

Es gilt

n \cdot x^{n - 1} \geq \frac{x^{n} - y^{n}}{x - y} \geq n \cdot y^{n - 1}

für

x, y \in ℝ

mit

x > y > 0

und

n \in ℕ

c)

Die Gleichung

x^{n} + p \cdot x + q = 0, p, q \in ℝ, n \in ℕ

besitzt höchstens zwei reelle Lösungen für gerade

n

und höchstens drei reelle Lösungen für ungerade

n

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

21:08 Uhr, 23.04.2010

Hallo,
bei a) muss man einfach nur einsetzen:

\frac{f (1) - f (0)}{1 - 0} = \frac{0 - 0}{1} = 0 = f^{'} (ξ)

b)

da gilt:

x > y \Rightarrow x^{n} > y^{n}

ist die Funktion

f (x) = x^{n}

natürlich streng monoton wachsend, es gilt also für die Ableitung

f^{'} (x) = n x^{n - 1} :

f^{'} (x) = n x^{n - 1} > n ξ^{n - 1} = f^{'} (ξ) \forall x > ξ

analog für

y

f^{'} (y) = n y^{n - 1} < n ξ^{n - 1} = f^{'} (ξ) \forall y < ξ

und für die Ableitung an der Stelle

ξ

gilt natürlich nach dem Mittelwertsatz:

f^{'} (ξ) = \frac{f (x) - f (y)}{x - y} = \frac{x^{n} - y^{n}}{x - y}

also gilt die Ungleichung.

Zur c) fällt mir jetzt spontan nichts ein.

anonymous

10:24 Uhr, 24.04.2010

Danke schon mal.

Jemand ne Idee für

c)

13:13 Uhr, 24.04.2010

c)

Zwischen zwei Nullstellen von

f

liegt eine Nullstelle von

f'

(laut MWS)
Es genügt also zu zeigen:
Die Gleichung

x^{n - 1} + p = 0

besitzt für gerades

n

höchstens eine reelle Lösung und für ungerades

n

höchstens zwei reelle Lösungen.

anonymous

14:46 Uhr, 25.04.2010

dankeschön

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