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Anwendung Quotientenkriterium/Wurzelkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

kaktusmckaktus aktiv_icon

18:12 Uhr, 22.07.2012

Hi Leute, ich habe Fragen im Bezug auf 2 Aufgaben.

Zunächst folgende:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1}

Durch Anwendung des Quotientenkriteriums erhalte ich:

\frac{n + 1}{n + 2} \approx 1 \to

Reihe ist konvergent. Hab ich das soweit richtig angewendet? Wir haben nur das WK bzw. QK behandelt, ich habe zwar die Lösungen, jedoch ist dort vom Minoranten- bzw. Majorantenkriterium die Rede. Jedoch kann ich damit wie gesagt nicht umgehen.

Die zweite Aufgabe ist folgende:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

.

Hier habe ich wieder das WK angewendet, jedoch weiß ich nicht, warum eine divergente Reihe zu identifizieren ist. Wenn ich ausklammere erhalte ich:

n^{2} \cdot (\frac{1}{2})

. Kann ich darüber eine Aussage ableiten?

Danke im Voraus

grütze

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:20 Uhr, 22.07.2012

Hallo,

> Zunächst folgende:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1}

>
> Durch Anwendung des Quotientenkriteriums erhalte ich:
>
>

\frac{n + 1}{n + 2} \approx 1

→ Reihe ist konvergent.

Bei so einem Unfug wird es dir nie an Unsinn mangeln!

> Die zweite Aufgabe ist folgende:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

.
>
>Hier habe ich wieder das WK angewendet, jedoch weiß ich nicht, warum eine divergente Reihe zu
> identifizieren ist. Wenn ich ausklammere erhalte ich:

n^{2} \cdot (\frac{1}{2})

. Kann ich darüber eine Aussage
> ableiten?

Ich finde nicht, dass die Reihe divergent ist, im Gegenteil! Und wie du das mit dem Wurzelkriterium (?) herausgefunden haben willst, ebenfalls.

Schau dir die Kriterien doch noch mal im Wachzustand an!

Mfg Michael

Clemensum aktiv_icon

18:20 Uhr, 22.07.2012

Wir machen es so:
Ich rechne dir das zweite (= schwierigere) vor und du versuchst dafür das erste:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{π^{2}}{6} < \infty

Dabei wurde Eulers berühmte Resultat benutzt und einfach nach oben abgeschätzt.

Tipp zum ersten:
Indextransformation ;-)

kaktusmckaktus aktiv_icon

18:33 Uhr, 22.07.2012

@MichaL: HAHA, du bist mir ja ein Spaßvogel.

@Clemensum: Ehhhhhm, das hört sich ja echt interessant an, aber ich dachte, dass ich zum Beispiel die Indextransformation nur bei geometrischen Folgen anwenden darf. Und das ist doch keine geometrische Reihe oder?

Mehr fällt mir dazu jetzt aber auch nicht ein.

michaL aktiv_icon

18:45 Uhr, 22.07.2012

Hallo,

kaktusmckaktus schrieb:
> @MichaL: HAHA, du bist mir ja ein Spaßvogel.

Siehst du, dass ist sicher einer, wenn nicht DER Unterschied zwischen uns beiden. Ich hatte nicht angenommen, dass du das Ernst meintest. Da es aber Unfug ist, hab ich angenommen, du wärst vielleicht einfach nicht ausgeschlafen.
Wenn du dir dein Script (alternativ jede Form der Informationsübertragung, durch die das Quotientenkriterium erläutert wird) anschaust, wirst du feststellen, dass das Kriterium für einen Grenzwert 1 gerade keine Aussage über Konvergenz/Divergenz zulässt.

So kommt es auch, dass diese Reihe divergent ist. Minorantenkriterium könnte hier helfen oder eben ein Übertrag dessen, was der Prof sicher in seiner Vorlesung im Zusammenhang zur harmonischen Reihe gesagt hat.

Und dann kommt noch die zweite Reihe:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

, die ja nun konvergent statt divergent ist. (Geeignete Abschätzung hat dir ja nun Clemensum vorgekaut.)
Da du das aber als Spaß ansiehst, muss ich annehmen, dass DU vielleicht selbst der Spaßvogel bist!?
Oder hast du vielleicht einfach nur die Wörter konvergent und divergent vertauscht?

Du brauchst dich mit meinen postings nicht auseinanderzusetzen. In dem Fall hoffe ich für dich, dass sich irgend jemand findet, der die Aufgaben für dich löst.

Mfg Michael

Clemensum aktiv_icon

19:17 Uhr, 22.07.2012

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n} \to \infty (n \to \infty)

P.S.:
Mit freundlichen (und noch dazu freiwilligen (!) ) Helfern würde ich es mir nicht vertun!

kaktusmckaktus aktiv_icon

20:24 Uhr, 22.07.2012

@ MichaL: Es hat nichts damit zu tun, dass ich deine posts nicht durcharbeiten und respektieren würde, gerade in Anbetracht meiner Unwissenheit! Jedoch war in deiner ersten Antwort außer beleidigenden Worten nichts hilfreiches zu finden. Dagegen hilft mir die zweite natürlich schon deutlich mehr. Ich will mich jetzt auch gar nicht übermäßig über solche Missverständnisse auslassen, dafür drängt die Zeit zu sehr. Ich habe mich angegriffen gefühlt und dementsprechend reagiert, wenn auch in harmlosester Form.

Dafür entschuldige ich mich ausdrücklich!

Zurück zum Thema(falls du weiterhin Interesse hast Hilfestellung zu leisten, was ich generell jedem, der das konstruktiv tut, hoch anrechne!).

Ich habe in meinen Unterlagen eben leider eine Zeile in Zusammenhang mit dem WK/QK gefunden, in der es heißt:

wenn

a > 1 \to

divergent
wenn

a \leq 1 \to

konvergent

wenn

a = 1

kann WK keine Aussage treffen.

Daher meine Lösung für die erste Aufgabe.

Heißt das, dass für beide WK/QK , für

a = 1

keine Aussage getroffen werden kann?

Und nochmal generell. Wäre die zweite Aufgabe mit dem Maj.K/Min.K auch, und leichter lösbar?

@Clemensum: steht in deinem ersten post ein Produkt-Symbol?

Danke euch

grüße

Clemensum aktiv_icon

20:35 Uhr, 22.07.2012

Ein Produkt-Symbol wäre

\prod .

Ich habe das Summensymbol

\sum

verwenden; sollte vom Kontext aber klar sein.

kaktusmckaktus aktiv_icon

20:41 Uhr, 22.07.2012

Ja das ist schon klar ;-). Ich meine das Symbol, dass zum quadrat genommen wird. In folgender Zeile: Symbol^2/6

< 00 . .

michaL aktiv_icon

21:11 Uhr, 22.07.2012

Hallo,

tatsächlich: Bei Anwendung der beiden Kriterien gilt: Quotient/Wurzel

\leq q < 1

=> Konvergenz

> 1

=> Divergenz

= 1

keine Aussage möglich.

Gute Beispiel dafür sind die überschaubaren Reihen

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

(divergent, weil harmonische Reihe) bzw.

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k}

(konvergent, alternierende harmonische Reihe - Leibniz-Kriterium)

In beiden Fällen liefert das Quotientenkriterium eine 1.

Wo hast du denn diese (sorry: bescheuerte) Fallunterscheidung her?
"

a \leq 1 \to

konvergent"

Mfg Michael

kaktusmckaktus aktiv_icon

21:30 Uhr, 22.07.2012

Ja du hast Recht, ich habe da einen Dreher in den Aufzeichnungen gehabt. Dumme Sache. Das heißt ich muss für den Fall, dass ich 1 erhalte, andere Kriterien und Verfahren kennen. Alles klar.

Danke nochmal, schönen Abend euch noch!

grüße

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