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Anwendung Relationen
Universität / Fachhochschule
Relationen
Tags: Relation.
 
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Seien und natürliche Zahlen. Eine Party mit Gästen heißt k-lebhaft, wenn es eine Teilmenge von Gästen gibt, die sich untereinander alle kennen, oder die sich untereinander alle nicht kennen. Jede Party mit mindestens 2 Gästen ist also 2-lebhaft, denn für jede Teilmenge von 2 Gästen gilt: entweder kennen sich die beiden, oder sie kennen sich nicht. Insbesondere gibt es eine Teilmenge von 2 Gästen, so dass sich die beiden kennen oder nicht kennen. Eine Party mit 4 Gästen muss nicht 3-lebhaft sein. Seien zum Beispiel Angie, Benji, Cindy und Danny die 4 Partygäste. Kennen sich Angie und Benji, so wie auch Cindy und Danny, aber Cindy kennt weder Angie noch Benji, und auch Danny kennt Angie und Benji nicht, so findet man keine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle kennen, oder die sich alle nicht kennen. Gibt es eine natürliche Zahl so dass jede Party mit Gästen mit Sicherheit 3-lebhaft ist? Wenn ja, welches ist die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft? Begründen Sie Ihre Aussagen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Bei diesem graphentheoretischen Problem kann man sich langsam vortasten: klappt nicht, hast du selbst drüber referiert. klappt auch nicht: Betrachten wir ein regelmäßiges Fünfeck, und die Seiten repräsentieren Bekanntschaften, während die Diagonalen dann für Nicht-Kennen stehen. Man kann sich nun beliebige drei Punkte des Fünfecks sowie das verbindende Dreieck anschauen: Es sind immer mindestens eine Fünfeckseite und mindestens eine Fünfeckdiagonale unter den drei Seiten dieses Dreiecks. klappt: Finde eine Begründung dafür! |
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Betrachten wir eine Party mit 6 Gästen: und F. Um zu zeigen, dass jede solche Party 3-lebhaft ist, müssen wir zwei Fälle betrachten. Fall 1: Es gibt eine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle kennen. Angenommen, und kennen sich alle. In diesem Fall bildet diese Teilmenge eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle untereinander kennen. Fall 2: Es gibt eine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle nicht kennen. Angenommen, und kennen sich nicht. Dann bildet diese Teilmenge eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle untereinander nicht kennen. In beiden Fällen haben wir eine 3-lebhafte Gruppe auf der Party. Daher ist jede Party mit 6 Gästen mit Sicherheit 3-lebhaft. Dies ist die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft, da zum Beispiel eine Party mit 5 Gästen nicht notwendigerweise 3-lebhaft sein muss, wie im vorherigen Beispiel mit den Gästen Angie, Benji, Cindy, und Danny gezeigt wurde. Stimmt die Begründung so |
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Mir fehlt eine schlüssige Begründung, warum denn (mindestens) einer deiner beiden Fälle stets eintreten muss. So wie bei dir hingeschrieben, wirkt das für mich lediglich wie eine Umschreibung der Behauptung, aber kein Beweis. :( |
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Okay noch ein Versuch Um zu beweisen, dass jede Party mit 6 Gästen mit Sicherheit 3-lebhaft ist, betrachten wir alle möglichen Konstellationen: 1. **Fall: Es gibt eine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle kennen.** - In diesem Fall haben wir bereits eine 3-lebhafte Gruppe. 2. **Fall: Es gibt eine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle nicht kennen.** - Auch in diesem Fall haben wir eine 3-lebhafte Gruppe. 3. **Fall: Es gibt keine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle kennen, aber auch keine, die sich alle nicht kennen.** - Dann müssen alle möglichen 3-Gast-Teilmengen Gäste enthalten, die sich entweder alle kennen oder alle nicht kennen. - Das bedeutet, dass es entweder eine 3-lebhafte Gruppe gibt, oder alle Gäste kennen sich untereinander nicht. In jedem der Fälle haben wir eine 3-lebhafte Gruppe oder können eine solche bilden. Daher ist jede Party mit 6 Gästen mit Sicherheit 3-lebhaft. Oder **Fall 1: Es gibt eine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle kennen.** - Angenommen, Gäste und kennen sich alle. Dann bildet die Teilmenge eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle untereinander kennen. **Fall 2: Es gibt eine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle nicht kennen.** - Angenommen, Gäste und kennen sich nicht. Dann bildet die Teilmenge eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle untereinander nicht kennen. **Fall 3: Es gibt keine Teilmenge von 3 Gästen, die sich alle kennen, aber auch keine, die sich alle nicht kennen.** - In diesem Fall müssen alle möglichen 3-Gast-Teilmengen Gäste enthalten, die sich entweder alle kennen oder alle nicht kennen. - Betrachten wir eine beliebige 3-Gast-Teilmenge, zum Beispiel . Da es keine Teilmenge von 3 Gästen gibt, die sich alle kennen, muss entweder und sich alle kennen oder alle nicht kennen. - Wenn und sich alle kennen, haben wir eine 3-lebhafte Gruppe. - Wenn und sich alle nicht kennen, haben wir wieder eine 3-lebhafte Gruppe. Somit haben wir in jedem Fall eine 3-lebhafte Gruppe auf der Party mit 6 Gästen. Daher ist jede Party mit 6 Gästen mit Sicherheit 3-lebhaft. |
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Ich verstehe deine Begründung vom 3.Fall nicht: Was GENAU spricht dagegen, dass es in jeder Gruppe von 3 aus 6 Leuten so aussieht: Es gibt zwei darunter, die sich kennen, aber auch zwei, die sich nicht kennen. (Was das dritte Paar dann betrifft, ist es egal ob die sich kennen oder nicht.) ---------------------------------------------------------------- Ich würde anders rangehen: Betrachten wir irgendeinen der sechs Gäste - genauer gesagt, dessen Beziehungen zu den anderen fünf Gästen. Dann tritt einer der beiden Fälle ein: Fall A: Er kennt mindestens drei der fünf anderen Gäste. Fall B: Er kennt mindestens drei der fünf anderen Gäste nicht. In beiden Fällen betrachten wir diese drei (wenn es mehr sind, lassen wir die überzähligen weg) und deren Beziehungen untereinander. |
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Das verstehe ich nicht. Was meinst du genau damit |
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Ich hab mir Gedanken gemacht und das kam heraus **Fall Der ausgewählte Gast kennt mindestens drei der fünf anderen Gäste.** - Wir wählen drei Gäste aus dieser Gruppe, nennen sie und die alle von unserem ausgewählten Gast bekannt sind. - Jetzt betrachten wir die Beziehungen zwischen und - Falls und sich untereinander kennen, haben wir eine 3-lebhafte Gruppe. - Falls und sich untereinander nicht kennen, haben wir auch eine 3-lebhafte Gruppe. **Fall Der ausgewählte Gast kennt mindestens drei der fünf anderen Gäste nicht.** - Wir wählen drei Gäste aus dieser Gruppe, nennen sie und die alle von unserem ausgewählten Gast nicht bekannt sind. - Jetzt betrachten wir die Beziehungen zwischen und - Falls und sich untereinander kennen, haben wir eine 3-lebhafte Gruppe (da sie sich alle kennen). - Falls und sich untereinander nicht kennen, haben wir auch eine 3-lebhafte Gruppe. In beiden Fällen haben wir eine 3-lebhafte Gruppe. Somit ist jede Party mit 6 Gästen mit Sicherheit 3-lebhaft. |
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Du musst bemüht sein, eine VOLLSTÄNDIGE Fallunterscheidung anzugeben! Das kann ich in deinen Ausführungen leider so gar nicht erkennen. Die Hauptfallunterscheidung in A und B ist eine solche: Denn die Annahme, dass weder A noch B zutrifft würde bedeuten, dass der bewusste Gast maximal zwei Gäste kennt und auch maximal zwei Gäste nicht kennt - das geht nicht auf, da es ja insgesamt fünf andere Gäste gibt. Kommen wir zu Fall A, da gibt es folgende Unterfälle für X,Y,Z: A1) Die drei kennen sich untereinander sämtlich nicht. Dann bilden sie eine 3-lebhafte Gruppe. A2) Es gibt zwei Leute, die sich kennen, o.B.d.A. X,Y. Dann bilden X,Y gemeinsam mit unseren Ausgangsgast eine Dreiergruppe, die sich sämtlich untereinander kennen, und damit auch eine 3-lebhafte Gruppe bilden. Bei Fall B) funktioniert das völlig analog, mit vertauschten Rollen: B1) Die drei kennen sich untereinander sämtlich. Dann bilden sie eine 3-lebhafte Gruppe. B2) Es gibt zwei Leute, die sich nicht kennen, o.B.d.A. X,Y. Dann bilden X,Y gemeinsam mit unseren Ausgangsgast eine Dreiergruppe, die sich sämtlich untereinander nicht kennen, und damit auch eine 3-lebhafte Gruppe bilden. So funktioniert das, nochmal: VOLLSTÄNDIGE Fallunterscheidung, d.h., keine Lücke in der Logik lassen! |
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Okay aber was ist bei mir falsch und was muss ich verbessern. Wie geht das richtig |
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Ist das besser , lassen Sie uns die beiden Fälle noch ausführlicher betrachten: Fall Der ausgewählte Gast kennt mindestens drei der fünf anderen Gäste. Angenommen, der ausgewählte Gast kennt Gäste und Z. Jetzt betrachten wir diese drei Gäste untereinander. Es gibt zwei Szenarien: 1. Szenario und kennen sich alle gegenseitig. In diesem Fall bildet die Gruppe eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle Gäste in dieser Teilmenge untereinander kennen. 2. Szenario 2: Mindestens zwei der Gäste und kennen sich nicht. In diesem Fall wählen wir zwei Gäste aus der Teilmenge die sich nicht kennen. Diese beiden Gäste, zusammen mit dem ausgewählten Gast, bilden eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle Gäste in dieser Teilmenge untereinander nicht kennen. Fall Der ausgewählte Gast kennt mindestens drei der fünf anderen Gäste nicht. Angenommen, der ausgewählte Gast kennt die Gäste und nicht. Jetzt betrachten wir diese drei Gäste untereinander. Es gibt wieder zwei Szenarien: 1. Szenario und kennen sich alle gegenseitig nicht. In diesem Fall bildet die Gruppe eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle Gäste in dieser Teilmenge untereinander nicht kennen. 2. Szenario 2: Mindestens zwei der Gäste und kennen sich. In diesem Fall wählen wir zwei Gäste aus der Teilmenge die sich kennen. Diese beiden Gäste, zusammen mit dem ausgewählten Gast, bilden eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle Gäste in dieser Teilmenge untereinander kennen. Daher gibt es in jedem der beiden Fälle mindestens eine 3-lebhafte Gruppe. Somit ist jede Party mit 6 Gästen mit Sicherheit 3-lebhaft. Oder ist das noch genauer Betrachten wir einen der sechs Gäste, den wir als "Gast A" bezeichnen. Gast A hat Beziehungen zu den verbleibenden fünf Gästen . Nun gibt es zwei Fälle: Fall Gast A kennt mindestens drei der fünf anderen Gäste . Angenommen, A kennt die Gäste und Z. Jetzt analysieren wir die Beziehungen zwischen und 1. Szenario und kennen sich alle gegenseitig. In diesem Fall bildet die Gruppe eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle Gäste in dieser Teilmenge untereinander kennen. 2. Szenario 2: Mindestens zwei der Gäste und kennen sich nicht. Angenommen, und kennen sich nicht. Dann bilden die Gäste und eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle Gäste in dieser Teilmenge untereinander nicht kennen. Gast A könnte auch Gäste auswählen, die nicht in allen Fällen bekannt sind, solange er mindestens drei kennt. Fall Gast A kennt mindestens drei der fünf anderen Gäste nicht . Angenommen, A kennt die Gäste und nicht. Jetzt analysieren wir die Beziehungen zwischen und 1. Szenario und kennen sich alle gegenseitig nicht. In diesem Fall bildet die Gruppe eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle Gäste in dieser Teilmenge untereinander nicht kennen. 2. Szenario 2: Mindestens zwei der Gäste und kennen sich. Angenommen, und kennen sich. Dann bilden die Gäste und eine 3-lebhafte Gruppe, da sich alle Gäste in dieser Teilmenge untereinander kennen. Gast A könnte auch Gäste auswählen, die nicht in allen Fällen unbekannt sind, solange er mindestens drei nicht kennt. Da Gast in beiden Fällen eine 3-lebhafte Gruppe bilden kann, gilt dies für jeden der sechs Gäste. Daher ist jede Party mit 6 Gästen mit Sicherheit 3-lebhaft. Ist das vollständig jetzt |
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Kann jemand nochmal drauf schauen |
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Nein, du hast das von mir geschriebene völlig vergurkt umgewandelt, so dass es nicht mehr klappt: Wie bitte kommst du in Fall A Szenario 2 zu dem Schluss, dass es drei Leute gibt, die sich wechselseitig nicht kennen??? Direkt vorher hast du noch geschrieben "A kennt die Gäste X,Y und Z." Und nun plötzlich X,Y doch nicht mehr? Ich weiß nicht, wie es in deinem Kopf aussieht, aber die Logik scheint dort schwer Zugang zu bekommen. Du schreibst mechanisch immer wieder die gleichen falschen logischen Schlüsse auf. :( --------------------------------------------- Nochmal von vorn - irgendwann muss es doch mal zünden: Sei der ausgewählte Gast. Fall A: kennt mindestens drei der anderen fünf Gäste, darunter seien . Fall A1: kennen sich untereinander alle nicht. Dann ist eine 3-lebhafte Gruppe von einander nicht bekannten Leuten. Fall A2: Es gibt unter zwei Leute, die sich kennen, o.B.d.A. . Dann ist eine 3-lebhafte Gruppe von einander bekannten Leuten. Fall B: kennt höchstens zwei der anderen fünf Gäste (das ist das Gegenteil zu A). Dann kennt aber mindestens drei der anderen fünf Gäste nicht, darunter seien . Fall B1: kennen sich alle untereinander. Dann ist eine 3-lebhafte Gruppe von einander bekannten Leuten. Fall B2: Es gibt unter zwei Leute, die sich nicht kennen, o.B.d.A. . Dann ist eine 3-lebhafte Gruppe von einander nicht bekannten Leuten. |
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Ich weiß es auch nicht. Aber das ist doch jetzt die Lösung oder nicht Nochmal von vorn - irgendwann muss es doch mal zünden: Sei der ausgewählte Gast. Fall kennt mindestens drei der anderen fünf Gäste, darunter seien . Fall kennen sich untereinander alle nicht. Dann ist eine 3-lebhafte Gruppe von einander nicht bekannten Leuten. Fall Es gibt unter zwei Leute, die sich kennen, . . Dann ist eine 3-lebhafte Gruppe von einander bekannten Leuten. Fall kennt höchstens zwei der anderen fünf Gäste (das ist das Gegenteil zu . Dann kennt aber mindestens drei der anderen fünf Gäste nicht, darunter seien . Fall kennen sich alle untereinander. Dann ist eine 3-lebhafte Gruppe von einander bekannten Leuten. Fall Es gibt unter zwei Leute, die sich nicht kennen, . . Dann ist eine 3-lebhafte Gruppe von einander nicht bekannten Leuten. Oder was wird noch erwartet von mir |
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Fall \(W\) kennt mindestens drei der anderen fünf Gäste (\(X, Z\)). 1. \(W\) kennt \(X, Z\). 2. \(W\) kennt \(X, Y\) und zusätzlich \(Z\). 3. \(W\) kennt \(X, Z\) und zusätzlich \(Y\). 4. \(W\) kennt \(Y, Z\) und zusätzlich \(X\). Fall \(W\) kennt höchstens zwei der anderen fünf Gäste. - \(W\) kennt nicht alle drei von \(X, Z\), sonst wäre es Fall A. - \(W\) kennt mindestens einen von \(X, Z\). - Wenn \(W\) \(X\) kennt, dann kennt \(W\) höchstens einen von \(Y, Z\). - Wenn \(W\) \(Y\) kennt, dann kennt \(W\) höchstens einen von \(X, Z\). - Wenn \(W\) \(Z\) kennt, dann kennt \(W\) höchstens einen von \(X, Y\). In jedem der detaillierten Fälle gibt es eine Gruppe von drei Gästen (\(X, Z\)), die sich entweder alle kennen oder alle nicht kennen. Das erfüllt die 3-lebhafte Eigenschaft für \(n = 6\). Das habe ich nun nach vielem denken ist das besser also das was du vorderst |
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> Aber das ist doch jetzt die Lösung oder nicht Ja klar, so war mein Beitrag 10:46 gemeint. Was du jetzt mit deinem Beitrag 12:16 bezwecken willst, verstehe ich ehrlich gesagt nicht. Aber ich bin auch langsam müde - vielleicht kriegt jemand anderes heraus, was dich hier umtreibt. |
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