Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » "Anwendung der Differentialrechnung"

"Anwendung der Differentialrechnung"

Schüler Gymnasium,

Tags: Analysis, Anwendung, Aufgabe, Differentialrechnung

Avanquest aktiv_icon

20:36 Uhr, 29.01.2014

Hallo erstmal,

Ich habe folgende Aufgabe vorliegen, bei der ich dringend Hilfe benötige:

"Ein geübter Golfspieler plant, durch einen Abschlag in einem WInkel von 45° den Ball direkt in das

120 m

entfernte Loch zu spielen. Nach dem Abschlag beschreibt der Ball eine parabelförmige Flugbahn.

30 m

vor dem Loch steht in direkter Linie zwischen dem Abschlagplatz und dem Loch ein

20 m

hoher Baum. Kann der Schlag gelingen?"

Ich hab bisher noch keine Ansätze, da ich grundsätzlich mit dem Thema Differentialrechnung nichts anfangen kann. Wie könnte ich am besten an die Sache heran gehen? Könnt ihr mir eventuell ein paar Beispiele liefern?

Vielen Dank im Vorraus, mit freundlichen Grüßen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

aschief aktiv_icon

20:43 Uhr, 29.01.2014

Nun ja du musst zu erst versuchen alle Angaben mathematisch verwerten zu können. Zum Beispiel weißt du das deine Funktion ( die Flugbahn des Balles) die X-Achse an den Stellen 0 und

120

schneidet. Außerdem ist die Funktion Parabelförmig und hat somit die 2 als höchste Potenz, sprich 2. Grades.
Desweiteren beträgt die Steigung im Punkt

(\frac{0}{0}) 1

Versuch mal eine Funktion aufzustellen!

Avanquest aktiv_icon

20:57 Uhr, 29.01.2014

Also, ich weiß dass die "Grundform" einer Quadratischen Funktion gleich f(x)=ax²+bx+c ist. Nur weiß ich aufgrund mangelnden Vorwissens nicht, wie ich aus den jetzt gegebenen Werten eine Funktionsgleichung für die Aufgabe aufstelle.

aschief aktiv_icon

21:04 Uhr, 29.01.2014

Die Grundform einer quadratischen Funktion lautet ax^2+bx+c , da 2 die höchste Potenz ist!
Also die Informationen:
Die Funktion schneidet die X-Achse im Punkt

(\frac{120}{0}), d . h . :

120 = a \cdot {(0)}^{2} + b \cdot (0) + c

für den anderen Punkt kannst du das sicher selber!
Und dann noch die Steigung mit einbeziehen, mithilfe der Ableitung.
f´(0)=2a*(0)+b=1

Avanquest aktiv_icon

21:13 Uhr, 29.01.2014

Warum wird 120 für f(x)/y eingesetzt, bei den anderen x-Werten aber 0? Ich dachte beides befände sich auf der X-Achse? Wie genau läuft das?

Tut mir leid, wenn ich jetzt so "dumme" Fragen stelle, aber ich muss das die nächsten Tage einfach drauf bekommen! Mir wurde in der Schule die Pistole auf die Brust gesetzt.

aschief aktiv_icon

21:23 Uhr, 29.01.2014

Das ist kein Problem ich helfe ja gerne, außerdem sind das keine dummen Fragen, man muss es nur einmal verstanden haben.

Eine Funktion heißt

f (x) = y

Da deine Funktion hier ja heißt: f(x)=a*x^2+bx+c , kommt ja der y-wert heraus wenn man

x

einsetzt.
Da erkenne ich auch einen groben Fehler von mir, das tut mir sehr Leid!
Du hast natürlich Recht:

y \to 0

und

x \to 120

also neu:

0 = a \cdot {(120)}^{2} + b + 120 + c

0 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c \to

daran erkennt man schnell das

c = 0

sein muss

Ableitung: (steigung)

1 = 2 a \cdot 0 + b - \to b = 1

Nun musst du die Ergebnisse nur noch einsetzen und a berechnen. Ich hoffe ich konnte meinen Fehler wieder gutmachen und habe dich nicht zu sehr verwirrt!

aschief aktiv_icon

21:32 Uhr, 29.01.2014

Die erste Gleichung

\to

nicht:

b + 120,

sondern

b \cdot 120

Avanquest aktiv_icon

21:37 Uhr, 29.01.2014

Wofür stehen die Variablen a, b und c in der Gleichung eigentlich und wie genau werden die von hier aus errechnet? Einfach gleichsetzen? Die Steigung errechne ich ja mit der Ableitung. Wie erfülle ich denn von hier aus nun die Fragestellung der Aufgabe?

Ich habe das jetzt so verstanden:

(1) 0=a*120^2+b*120+c // 0 wird für y eingesetzt, weil die Punkte auf der X-Achse liegen, quasi nicht "in die Höhe gehen"?

(2) 0=a*0^2+b*0+c

Man merkt schon, man muss mir das bis ins kleinste zerkauen...

aschief aktiv_icon

21:48 Uhr, 29.01.2014

Also:
Es ist eine Funktion 2. Grades gesucht, typischerweise so aufgebaut:

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

Deshalb sind nun nur noch die Konstanten, also Zahlen,

a, b

und

c

gesucht die die Funktion klar definieren.
Würde sich also zum Beispiel ergeben, dass

b

und

c = 0

und

a = 1

wären, dann wäre die speziell gesuchte Funktion hier

f (x) = x^{2},

also die Normalparabel
Deshalb musst du durch das Einsetzen von Punkten oder Steigungen oder Wendepunkten, also was dir eben angegeben wird, die speziell gesuchte Funktion finden.
Zu deinen Punkten

(1)

und (2)

,

ja das ist korrekt!
Wie du bei

(1)

erkennst, ergibt sich so schon mal die Konstante

c = 0,

da nur so die Bedingung erfüllt sein kann. Die kannst du dann in die nächste Bedingung schon einsetzten, so ergibt sich dann die Funktion

Avanquest aktiv_icon

22:17 Uhr, 29.01.2014

Wie mach ich denn jetzt genau weiter? Ich habe diese zwei Gleichungen aufgestellt, jetzt? Du hattest geschrieben dass wir beispielsweise annehmen, dass die Konstanten diesen und jenen Wert haben, woher weiß ich das denn? Wie komm ich denn jetzt überhaupt zur Antwort auf die Frage ob dieser Golfer denn jetzt den Ball versenkt oder ob der Ball vom Baum aufgehalten wird?

aschief aktiv_icon

22:37 Uhr, 29.01.2014

Wie ich schon schrieb:

c = 0

und

b = 1,

hattest du das verstanden warum das so ist?
Nun brauchst du noch

a,

also noch einen Ansatz der dir die Lösung liefert.
Zum Beispiel ist die Flugbahn parabelförmig, also muss sie in der Mitte den Höhepunkt erreichen, also muss die Ableitung an der Stelle

60 = 0

sein.
f´(x)=

2 a \cdot (60) + b = 0

b

war

1,

deshalb:

- 1 = 120 \cdot a

a = - \frac{1}{120}

Jetzt kannst du alle Konstanten einsetzen in die Gleichung:

f (x) = - \frac{1}{120} \cdot a^{2} + (1) x + 0,

wobei du die 1 und die 0 natürlich in der normalen Scheibweise weglassen kann, das war nur wegen dem Verständnis.

Jetzt ist der Baum

30

Meter vor dem Loch, also ist

x

dort

90

und muss mindestens ein

y

von

20

haben

f (90) = - \frac{1}{120} \cdot {(90)}^{2} + (90) = 22,5

also geht der Ball

2,5

Meter über den Baum

Ma-Ma aktiv_icon

00:26 Uhr, 30.01.2014

Hallo Avanquest,
Du hast hier eine sehr ausführliche Antwort erhalten. Ich zeige Dir jetzt mal die kurze Version.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Golfer steht an Position

A (0 | 0),

Loch ist an Position

B (120 | 0)

Dein Vorwissen:

a)

Skizze machen !

b)

Quadratische Funktionsgleichung:

f (x) = a x^{2} + b x + c

c) 1

. Ableitung:

f' (x) = 2 a x + b

d)

Steigung

m = tan α = f' (x)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Lösung:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1)

Funktionsgleichung aufstellen und Ableitung:

f (x) = a x^{2} + b x + c

f' (x) = 2 a x + b

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

2) 3

Variablen

\to 3

Bedingungen
I)

f (x = 0) = 0

II)

f (x = 120) = 0

III)

f' (x = 0) = 1 ... ... .

f' (x) = m = 45

Grad

= tan 45

Grad

= 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3)

Gleichungen (aus den Bedingungen) aufstellen:
I)

0 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c

c = 0

II)

0 = a \cdot 120^{2} + b \cdot 120

III)

1 = 2 a \cdot 0 + b

b = 1

- - - - - - - - - - -

Wir haben jetzt

c = 0

und

b = 1

. Somit benötigen wir nur noch

a

.
II)

0 = 120^{2} \cdot a + 120

- 120 = 120^{2} \cdot a

- \frac{120}{120^{2}} = a

a = - \frac{1}{120}

- - - - - - - - - - - - - - - -

Wir haben

a, b

und

c

und können somit die Funktionsgleichung aufstellen.

f (x) = - \frac{1}{120} x^{2} + x

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Deine Aufgabe wäre jetzt noch, zu prüfen, welchen y-Wert (die Wurfparabel) der Ball

30 m

vor dem Loch hat.

(x = 90)

f (x = 90) = - \frac{1}{120} \cdot 90^{2} + 90

f (90) = ... ... . .

. ?

Ist dieser Wert GRÖßER als die Baumhöhe ?

LG Ma-Ma

Bummerang

07:03 Uhr, 30.01.2014

Hallo Avanquest,

Du hast hier eine sehr ausführliche und eine kurze Antwort erhalten. Ich zeige Dir jetzt mal eine kürzere Version.

Von der gesuchten Parabel kennst Du zwei verschiedene Nullstellen

(x_{1} = 0

und

x_{2} = 120),

weshalb Du die Funktion wie folgt ansetzt:

f (x) = a \cdot (x - 0) \cdot (x - 120) = a \cdot x \cdot (x - 120) = a \cdot x^{2} - 120 \cdot a \cdot x

Des weiteren kennst Du den Anstieg beim Abschlag,

d . h

. wegen

f' (x) = 2 \cdot a \cdot x - 120 \cdot a

gilt:

f' (0) = 1 = 2 \cdot a \cdot 0 - 120 \cdot a = - 120 \cdot a \Rightarrow a = - \frac{1}{120}

\Rightarrow f (x) = - \frac{1}{120} \cdot x^{2} - 120 \cdot (- \frac{1}{120}) \cdot x = - \frac{1}{120} \cdot x^{2} + x

Ab hier mache ich den Guttenberg bei der Vorrednerin:

"Deine Aufgabe wäre jetzt noch, zu prüfen, welchen y-Wert (die Wurfparabel) der Ball

30 m

vor dem Loch hat.

(x = 90)

f (x = 90) = - \frac{1}{120} \cdot 90^{2} + 90

f (90) = ... ... . .

. ?

Ist dieser Wert GRÖßER als die Baumhöhe ?"

aleph-math aktiv_icon

16:08 Uhr, 30.01.2014

Gu. Morgen!

Auf d. Gefahr, uns. Frager zu verwirren, kann ich eine - wie ich glaube - noch einfachere Lösg anbieten. Außerd. sind ein paar kl. Fragen im Beitrag v. 22:17h offen..

->".. u. wie weiß ich, ob d. Golfer jetzt einlocht o. d. Baum d. Ball aufhält?"
Betrachte d. Aufg. in log. Abfolge (mit wachs. Details, sog. drop-down):
- Antw. auf ob. Frage: D. Ball geht ins Loch, wenn d. Wurf- bzw. Fallhöhe am Ort (Baum) größer als d. Baumhöhe ist.

- Frage: Ist das d. Fall?
Zur Beantwort. ist d. Parabelgl. nötig -> Frage: wie erhalte ich diese?

- Antw.: Eine symmetrische Parabel hat d. Form

y = a x^{2} + c

. Dabei liegt d. Nullpkt am Boden genau zwi. Abschlag & Loch. Wenn d. Nullst. (hier

\pm 60

) bekannt sind, ist - wie Bumm.. ganz richtig sagt - d. Linearfaktor-Methode d. Einfachste; also:

f (x) = a (x + 60) (x - 60) = a (x^{2} - 6 0^{2}) = a x^{2} - 3600 a = > f ʹ (x) = 2 a x

.

Fehlt noch d. Parameter a. Den bekommen wir -richtig- aus d. Ableitg im Abschlag; also:

f ʹ (- 60) = \tan 4 5 = 1 = > - 120 a = 1 = > a = - 12 0^{- 1} = > f (x) = - x^{2} / 120 + 30 .

Fertig!

-Jetzt zurück z. Hauptfrage: Baum bei 30m =>

f (30) = - 3 0^{2} / 120 + 30 = 30 - 7, 5 = 22, 5

(m); das ist 2.5m höher als d. Baum, er ist also *kein* Hindernis.
Eher schon d. Schlag-Parameter: genau 45° u. die Weite (von d. dazu nötigen Geschwindigk. sprich Kraft haben wir gar nicht gesprochen!) ? Ich bin kein Golfer, aber ich weiß nicht nicht, ob Tiger Woods das schaffen würde. Ich versuche, d. Kraft zu berechnen & melde mich.

- Frage: "Was bedeuten d. Var. a, b, c?"
"|a|" ist ein Maß f.d. Weite d. Parabel, d. Vorzeichen f.d. Öffnung: + nach ob., - nach unten; "b" ist d. horiz. u. "c" d. vertik. Verschiebg.

-Frage: "Wie bekomme ich a, b, c?"
Mein lie. Freund, "..chief" hat das grad vorher sehr schön gezeigt (nach seiner, ausführl. Version), also bitte besser aufpassen, wir reden doch nicht an d. Wand! Das ist o. zumind. kann sehr frustrier. sein, wenn man sich um Erklärg. bemüht u. es rauscht beim And. einfach durch.. Mitdenken, das ist doch nicht zuviel verlangt!

Aber dennoch: laß's dich nicht verdrießen, weiiter üben, dann wird das schon! Grüße.. GA

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1142604

1142444

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?