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Anwendung der Doppelintegration

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Doppelintegral

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22:44 Uhr, 14.09.2015

Guten abend

Ich verstehe die Ausdrücke nicht . was ich da berechnen muss .
Habe die Fläche berechnet.
Danke schön

Aufgabe: Man berechne den Schwerpunkt der Ebene , die von der Parbel

y = 6 x - x^{2}

und der geraden

y = x

begrenztwird. Anmerkung: Es gelten die folgende Integrale und Bezeichnungen:

(1)

\int_{B} \int

da=

\int_{a}^{b} \int_{g 1 (x)}^{g 2 (x)} d y d x,

(2)

M_{y} = \int_{B} \int

xdA=

\int_{a}^{b} \int_{g 1 (x)}^{g 2 (x)} x d y d x,

(3)

M_{x} = \int_{B} \int

ydA=

\int_{a}^{b} \int_{g 1 (x)}^{g 2 (x)} y d y d x,

(4)

x_{s} = \frac{M_{y}}{A}; y_{s} = \frac{M_{x}}{A}

für die 4 brauche ich ja die 1 bis 3.

Lös.:
Aller erst die schnittpunkte berechnen:

y = 6 x - x^{2}; g = x

x = 6 x - x^{2} | - x

0 = 5 x - x^{2}

0 = x (5 - x)

x_{1} = 0; x_{2} = 5

A = \int_{0}^{5}

(-x²+5x)*dx=

[- \frac{x^{3}}{3} + \frac{5 \cdot x^{2}}{2}] = [- \frac{5^{3}}{3} + \frac{5 \cdot 5^{2}}{2}] = [- 41,6 + 62,5] = 20,9

Fe

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

16:49 Uhr, 15.09.2015

Hast du die Graphen der Funktionen einmal geplottet? Dann kannst du anschaulich sehen, um welche Ebene es eigentlich geht. Dann siehst du auch, dass du zur Berechnung der Ebene die Schnittpunkte der Graphen der beiden Funktionen brauchst.
Das 1D-Integral beider Funktionen liefert dir jeweils die Fläche darunter, du bist aber nur an der eingeschlossenen Fläche interessiert, entsprechend berechnest du die Differenz der beiden Funktionen und integrierst über diese Differenzfunktion. Das sind die

20,9

FE (habe ich jetzt nicht nachgerechnet).
Du bist lt. Aufgabenstellung aber am Schwerpunkt der Ebene interessiert...
Die angegebenen Integrale brauchst du zur Berechnung der Schwerpunktskoordinaten, das machst du sukzessive. Das sind nun Flächenintegrale

(2 D)

. Führe die Integration einfach nacheinander aus

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22:53 Uhr, 18.09.2015

Hallo

Können sie mir bitte erklären was mit den

(1)

bis

(3)

gemeint ist. Also auf was muss ich achten
also ich habe die gerade und perabel schon gezeichnet.

z . b

was bedeutet das ∫∫ xdA

danke

anonymous

00:45 Uhr, 20.09.2015

Die Integrale

(2)

und

(3)

sind Flächenträgheitsmomente. Die braucht man zur Berechnung des Schwerpunktes der Ebene. Dabei handelt es sich um 2-dimensionale Integrale (FLÄCHENintegrale). Du kannst die Integration einfach nacheinander ausführen (also erst nach

d x,

dann nach

d y)

. Die Integrationsgrenzen sind ja bekannt.

Tipp: Informiere dich einmal über Flächenträgheitsmomente, also was sie geometrisch beschreiben usw.. Es ist für das Verständnis sehr wichtig, dass man die Größen kennt, die sich hinter gewissen Integralen verstecken...

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00:25 Uhr, 21.09.2015

Vielen Dank

Ich habe es kapiert aber ich habe paar fragen noch !
Aller erst schreibe ich die Lösung danach frage
Lösung:
(1)

A = \int_{0}^{5} [\int_{x}^{6 x - x^{2}} * d y] d x = \int_{0}^{5} [y]_{x}^{6 x - x^{2}} = 6 x - x^{2} - x = 5 x - x^{2}

= \int_{0}^{5} [5 x - x ²] * d x = [\frac{5 x ²}{2} - \frac{x ³}{3}]_{0}^{5} = [\frac{5 * 5 ²}{2} - \frac{5 ³}{3}] = 208, 3 - 156, 25 = 52, 05

(2)

M y = \int_{0}^{5} [\int_{x}^{6 x - x^{2}} x * d y] d x = \int_{0}^{5} [x * y]_{x}^{6 x - x^{2}} = x (6 x - x^{2}) - x^{2} = [6 x^{2} - x^{3} - x^{2}]_{0}^{5} * d x = [5 x^{2} - x^{3}] * d x = [\frac{5 x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}]

= [\frac{5 * 5^{3}}{3} - \frac{5^{4}}{4}] = 208, 3 - 156, 25 = 52, 05

(3)

M x = \int_{0}^{5} [\int_{x}^{6 x - x^{2}} y * d y] d x = \int_{0}^{5} [\frac{y}{2}]_{x}^{6 x - x^{2}} * d x = [\frac{(6 x - x ²)^{2}}{2} - \frac{x ²}{2}]_{0}^{5} * d x = [\frac{36 x ²}{2} - \frac{12 x ³}{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{2}}{2}] * d x +

[\frac{35 x ²}{2} - \frac{12 x ³}{2} + \frac{x^{4}}{2}]_{0}^{5} * d x = [\frac{35 x ³}{6} - \frac{12 x^{4}}{8} + \frac{x^{5}}{10}]_{0}^{5} = [\frac{35 * 5 ³}{6} - \frac{12 * 5^{4}}{8} + \frac{5^{5}}{10}] = 729, 16 - 937, 5 + 312, 5 = 104, 16

Ich habe eine frage wie kommt man
von

[y * d y] d x = > z u h i e r [\frac{y}{2}] ?

[x * d y] d x = [x * y] o d e r h i e r w i e k o m m t m a n a u f x y

vielen dank

anonymous

10:21 Uhr, 21.09.2015

Also in der Integralnotation von dir oben stimmt einiges nicht ganz...

Betrachten wir das Integral von oben (ohne Int-Grenzen):

\int \int x \cdot d y d x

. Dies lässt sich schreiben als

\int x \cdot d x \int d y

(klar?)

Dies ist

\int x \cdot y d y

Da du ein bestimmtes Integral ausrechnen musst, musst du natürlich in die Stammfunktion noch die Grenzen einsetzen.
Aber so kommt der Term xy zustande... einfach nacheinander integrieren.

Bei dem anderen Integral hast du

\int y d y \int d x = \frac{1}{2} y^{2} \int d x = \int \frac{1}{2} y^{2} d x

wieder ohne Grenzen geschrieben...

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23:27 Uhr, 21.09.2015

Achso BEi

A = 20,83

Oh man Ich bekomme den schei.. einfach net im kopf

; - (

Sorry das ich ganze zeit frage.

\int [\int_{x}^{6 x - x^{2}} d y] d x = \int_{0}^{5} [y] y

ist diestammfunktion von 1 weil da hinter

d y

steht

und

\int [\int_{x}^{6 x - x^{2}} x d y] d x = \int_{0}^{5}

[

xy] nur die stammfunktion von 1 wegen

d y

\int [\int_{x}^{6 x - x^{2}} y d y] d x = \int_{0}^{5} [\frac{1}{2}

y²

]

y² weil

d y

dahinter steht

Stimmt das?

Vielen Dank nochmals

anonymous

14:37 Uhr, 22.09.2015

\int_{0}^{5} (\int_{x}^{6 x - x^{2}} d y) d x = \int_{0}^{5} ({[y]}_{x}^{6 x - x^{2}}) d x = \int_{0}^{5} (6 x - x^{2} - x) d x = \int_{0}^{5} (5 x - x^{2}) d x = {[\frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{5} - {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{5} = . .

.

Ja die Stammfunktion zur Funktion

f (x) = 1

ist

F (x) = x + C

(C=Integrationskonstante, da sie beim Differenzieren ja stets wegfällt).
Also

\int_{a}^{b} d x = {[x]}_{a}^{b} = b - a

Wenn du Doppelintegrale hast, führst du die Integration einzeln aus, also

z . B

. erst nach

d x

. Entsprechend integrierst du auch nur alles, wo Terme mit

x

(oder Konstante auftauchen). Terme mit

y

betrachtest du für diesen Teil der Rechnung dann als Konstant. Erst im nächsten Schritt integrierst du dann nach

d y

und betrachtest alle x-Terme als konstant,

d . h

. ziehst sie als Faktoren "einfach nur mit".

Also

\int_{a}^{b} x \cdot y d x = y \cdot {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{a}^{b}

das

y

wurde als Vorfaktor nach vorne gezogen, weil die Integration über

d x

und nicht

d y

läuft.

Noch zwei Tipps:

1 .)

Achte beim Aufschreiben auf eine saubere Notation. Vergiss also nicht das

d x

oder

d y,

sie sind definitionsgemäß Bestandteil des Integrals. Man kann das nicht einfach weglassen, weil ja vlt. klar ist, was man meint. Steht es nicht da, ist der Ausdruck mathematisch nonsens (nicht definiert). Ist ja an deinen Beispielen auch verständlich, denn woher soll man wissen, wonach du integrierst?

2 .)

Wenn du bei Doppelintegralen das eine ausgewertet hast, schreibe und setze unbedingt die Integrationsgrenzen ein. Diese fehlen zumeist bei dir oben. Nur dann kannst du mit dem nächsten Integral fortsetzen.

anonymous

14:37 Uhr, 22.09.2015

\int_{0}^{5} (\int_{x}^{6 x - x^{2}} d y) d x = \int_{0}^{5} ({[y]}_{x}^{6 x - x^{2}}) d x = \int_{0}^{5} (6 x - x^{2} - x) d x = \int_{0}^{5} (5 x - x^{2}) d x = {[\frac{5}{2} x^{2}]}_{0}^{5} - {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{5} = . .

.

Ja die Stammfunktion zur Funktion

f (x) = 1

ist

F (x) = x + C

(C=Integrationskonstante, da sie beim Differenzieren ja stets wegfällt).
Also

\int_{a}^{b} d x = {[x]}_{a}^{b} = b - a

Wenn du Doppelintegrale hast, führst du die Integration einzeln aus, also

z . B

. erst nach

d x

. Entsprechend integrierst du auch nur alles, wo Terme mit

x

(oder Konstante auftauchen). Terme mit

y

betrachtest du für diesen Teil der Rechnung dann als Konstant. Erst im nächsten Schritt integrierst du dann nach

d y

und betrachtest alle x-Terme als konstant,

d . h

. ziehst sie als Faktoren "einfach nur mit".

Also

\int_{a}^{b} x \cdot y d x = y \cdot {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{a}^{b}

das

y

wurde als Vorfaktor nach vorne gezogen, weil die Integration über

d x

und nicht

d y

läuft.

Noch zwei Tipps:

1 .)

Achte beim Aufschreiben auf eine saubere Notation. Vergiss also nicht das

d x

oder

d y,

2 .)

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22:28 Uhr, 22.09.2015

Vielen Dank

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12:28 Uhr, 23.09.2015

Ich habe noch eine frage woher weiss ich welche gleichung ich oben oder unten bei den integral schreibe ?

Danke

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