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Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Tschebyscheff-Ungleichung, Zufallsgröße, Zufallsvariablen

Fisch18 aktiv_icon

15:47 Uhr, 02.02.2025

Hallo allerseits,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Übung: Seien

X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}

unabhängig und Poisson verteilt zum Parameter 1. Zeige mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung, dass

l i m_{n \to \infty} ℙ (∣ \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} - 1 ∣ > ε) = 0

\forall ε > 0

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

16:14 Uhr, 02.02.2025

Kannst du Erwartungswert sowie Varianz von

{\overline{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

ausrechnen basierend auf den gegebenen Werten

E (X_{1}) = μ

und

V (X_{1}) = σ^{2}

der Einzelzufallsgrößen? Dazu benötigt man nur die Rechenregeln für den Erwartungswert, und dass aus Unabhängigkeit auch Unkorreliertheit folgt.

Dies dann in Tschebyscheff einsetzen ist eigentlich schon fast alles, was hier zu tun ist. Die genaue Verteilung der Einzelzufallsgrößen (hier: Poisson) ist an sich unwichtig, solange nur

σ^{2} < \infty

gewährleistet ist.

Fisch18 aktiv_icon

17:09 Uhr, 02.02.2025

Man hat für den Erwartungswert

E [\bar{X_{n}}] = \sum_{x \in ℝ} x \cdot ℙ (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k})

. Leider weiß ich nicht wie ich von da aus weitermache.

HAL9000

17:27 Uhr, 02.02.2025

Unnsinn, sowas wie

P ({\overline{X}}_{n})

gibt es gar nicht als Wert, allenfalls

P ({\overline{X}}_{n} = x)

:(

Ich rede von der Linearität des Erwartungswerts, d.h.

E ({\overline{X}}_{n}) = \frac{1}{n} E (\sum_{k = 1}^{n} X_{k}) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k}) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot μ = μ

sowie

V ({\overline{X}}_{n}) = \frac{1}{n^{2}} V (\sum_{k = 1}^{n} X_{k}) \overset{(U)}{=} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} V (X_{k}) = \frac{1}{n^{2}} \cdot n \cdot σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}

,

wobei bei (U) die Unkorreliertheit von

X_{1}, X_{2}, \dots

eingeht.

Fisch18 aktiv_icon

18:03 Uhr, 02.02.2025

Ja gut, dass war blöd von mir. Jedenfalls eingesetzt in die Tschebyscheff-Ungleichung hat man dann:

ℙ (∣ X - μ ∣ \geq a) \leq \frac{1}{a^{2}} \frac{σ^{2}}{n}

. Ich sehe aber nicht wie man das jetzt umformen soll, sodass die gesuchte Ungelichung kommt.

HAL9000

18:57 Uhr, 02.02.2025

Oh je, dich muss man ja mit der Nase reindrücken, selbst wenn du unmittelbar davor stehst. :(

1) Du weißt schon, dass hier bei deiner Poisson-Verteilung

μ = 1

ist?

2) Was passiert mit der Wahrscheinlichkeits links beim Grenzübergang

n \to \infty

Fisch18 aktiv_icon

19:12 Uhr, 02.02.2025

Ja jetzt habe ich es realisiert. Okay danke für die Hilfe.

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