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Anwendung der Ungleichung von Tschebyscheff

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Tests

Verteilungsfunktionen

Tags: test, Tschebyscheff, Verteilungsfunktion

mokaan aktiv_icon

22:26 Uhr, 27.06.2010

y0 moin,
Bei folgender Frage fehlt mir jeglicher Ansatz:
Ich soll via Tschebyscheff Ungleichung beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit, mit 1200 Würfen eines fairen Würfels mindestens 151 und höchstens 249mal die Sechs zu werfen, echt größer als 93% ist.

mfg Mo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

23:22 Uhr, 27.06.2010

Die besagte Ungleichung lautet:

P (| X - E (X) | \geq a) \leq \frac{V (X)}{a^{2}}

bzw. in der hier brauchbaren Form

P (| X - E (X) | < a) \geq 1 - \frac{V (X)}{a^{2}}

Was ist für

X =

"Anzahl 6en bei

1200

fairen Würfelwürfe" denn

E (X)

? Und

V (X)

? Welches

a

kann benutzt werden?

mokaan aktiv_icon

10:35 Uhr, 28.06.2010

Ja, also wenn ich das soweit in der Vorlesung verstanden habe, dann ist

E (X) = n p = 1200 \cdot \frac{1}{6} = 200

und dem entsprechend dann

V (X) = n p \cdot (1 - p) = 1200 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1000}{6} = \frac{500}{3}

.
Da ich gegeben habe, dass ich mindestens

151

und höchstens

249

Sechser werfen soll, wäre dann das gesuchte

a = 49,

da die Grenzen ja symmetrisch um den Mittelwert liegen?

Wenn ich das also in die Ungleichung einsetze, komme ich auf

P (| X - 200 | \geq 49) \leq \frac{\frac{500}{3}}{49^{2}} \approx 0,06942 = 6,942 %

Was sagt mir das jetzt über die

93 %

aus, die ich ja beweisen soll?
Und wie kommst du bei dem

a

in der Formel auf den Exponenten zwei? Bei uns in der Vorlesung stand da immer nur ein

γ,

und über dieses

γ

weiß ich nur

γ > 0

. Wieso kann ich da einfach die 2 einsetzen?

hagman aktiv_icon

11:04 Uhr, 28.06.2010

Was soll denn

γ

überhaupt sein?
Hier de.wikipedia.org/wiki/Tschebyscheff-Ungleichung
tauchen auf der rechten Seite der Ungliechung auch nicht plötzlich unmotivierte Variable auf

. .

.

Zu den

93 :

Du hast gezeigt

P (| X - μ | \geq 49) \leq \frac{500}{3} / (49^{2}) < 0,07

.
Daraus folgt

P (| X - μ | < 49) = 1 - P (| X - μ | \geq 49) > 1 - 0,07 = 0,93

Dummerweise solltest du aber

P (| X - μ | \leq 49)

untersuchen.
Du könntest hierzu entweder

49

durch

50

ersetzen oder einfach überlegen, dass

P (| X - μ | \leq 49) = P (| X - μ | < 49) + P (| X - μ | = 49) > P (| X - μ | < 49) > 0,93

Mit anderen Worten hast du sogar gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens

152

und höchstens 248mal die Sechs zu werfen, echt größer als

93 %

ist.

mokaan aktiv_icon

15:32 Uhr, 28.06.2010

y 0,

alles klar vielen dank für deine hilfe

mfg

m 0

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