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Anwendung des Banachschen Fixpunktsatz

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Banachscher_Fixpunktsatz, Fixpunkt, Funktion

Fisch18 aktiv_icon

19:56 Uhr, 17.02.2026

Hallo,

ich beschäftige mich mit folgenden Problem siehe das Bild. Mir ist klar, dass man den Fixpunktsatz von Banach anwenden soll. Das ist eine Selbstabbildung ist, ist klar. Aber ich weiß nicht wie ich zeigen soll, dass es eine Kontraktion ist.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Randolph Esser aktiv_icon

22:17 Uhr, 17.02.2026

Hallo Fisch18,

Ich gehe mal davon aus,

dass die euklidische Metrik auf

ℝ^{2}

verwendet werden soll.

Dann kann man das eher länglich als kompliziert hinrechnen

(ich mach nicht zuviel in einem Schritt, damit es besser nachvollziehbar ist):

Sei

f : {[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]}^{2} \to ℝ^{2}, (x, y) \mapsto (\frac{1}{2} (x^{2} - y^{2} + \frac{3}{4}), \frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2} + 1))

.

Dann gilt für alle

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in {[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]}^{2} :

| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) |

= \sqrt{{(\frac{1}{2} ((x_{1}^{2} - y_{1}^{2} + \frac{3}{4}) - (x_{2}^{2} - y_{2}^{2} + \frac{3}{4})))}^{2} + {(\frac{1}{2} ((- x_{1}^{2} - y_{1}^{2} + 1) - (- x_{2}^{2} - y_{2}^{2} + 1)))}^{2}}

= \frac{1}{2} \sqrt{{((x_{1}^{2} - y_{1}^{2} + \frac{3}{4}) - (x_{2}^{2} - y_{2}^{2} + \frac{3}{4}))}^{2} + {((- x_{1}^{2} - y_{1}^{2} + 1) - (- x_{2}^{2} - y_{2}^{2} + 1))}^{2}}

= \frac{1}{2} \sqrt{{(x_{1}^{2} - y_{1}^{2} - x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}^{2} + {(- x_{1}^{2} - y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}^{2}}

= \frac{1}{2} \sqrt{{((x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) + (y_{2}^{2} - y_{1}^{2}))}^{2} + {(- (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) + (y_{2}^{2} - y_{1}^{2}))}^{2}}

= \frac{1}{2} \sqrt{2 {(x_{1}^{2} - x_{2}^{2})}^{2} + 2 {(y_{2}^{2} - y_{1}^{2})}^{2}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(x_{1}^{2} - x_{2}^{2})}^{2} + {(y_{2}^{2} - y_{1}^{2})}^{2}}

.

Nun gilt

{(x_{1}^{2} - x_{2}^{2})}^{2} \leq {(x_{1} - x_{2})}^{2} (I)

\Leftrightarrow

{(x_{1} - x_{2})}^{2} {(x_{1} + x_{2})}^{2} \leq {(x_{1} - x_{2})}^{2}

\Leftrightarrow

{(x_{1} + x_{2})}^{2} \leq 1,

falls

x_{1} \neq x_{2},

was wegen der Definitionsmenge erfüllt ist,

und

(I)

gilt auch, falls

x_{1} = x_{2}

.

Analog gilt

{(y_{1}^{2} - y_{2}^{2})}^{2} \leq {(y_{1} - y_{2})}^{2}

und somit

| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) |

= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(x_{1}^{2} - x_{2}^{2})}^{2} + {(y_{2}^{2} - y_{1}^{2})}^{2}}

\leq \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

= \frac{1}{\sqrt{2}} | (x_{1}, y_{1}) - (x_{2}, y_{2}) |,

weshalb

f

eine Kontraktion mit Kontraktionskonstante

q := \frac{1}{\sqrt{2}} < 1

ist.

Gemäß dem Banachschen Fixpunktsatz (siehe Anhang) besitzt

f

also

genau einen Fixpunkt

(x, y) \in {[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]}^{2}

Randolph Esser aktiv_icon

23:09 Uhr, 17.02.2026

Den Fixpunkt zu Fuß zu berechnen,
ist übrigens weniger easy.
Der Ansatz

(x, y) = f (x, y) = (\frac{1}{2} (x^{2} - y^{2} + \frac{3}{4}), \frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2} + 1))

\Leftrightarrow

y^{2} = x^{2} - 2 x + \frac{3}{4} = {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{4},

x^{2} = - y^{2} - 2 y + 1 = - {(y + 1)}^{2} + 2

lässt übles ahnen.
Aber er soll ja auch nicht
explizit berechnet werden.
Als Anhang noch Wolfram Alphas Lösung

(x, y) \approx (0,383102, 0,361335)

Fisch18 aktiv_icon

10:26 Uhr, 18.02.2026

Vielen Dank für die Antwort.

HAL9000

14:09 Uhr, 18.02.2026

(Irrtum)

Randolph Esser aktiv_icon

15:52 Uhr, 18.02.2026

Oben hätte ich lieber

" Analog gilt

{(y_{2}^{2} - y_{1}^{2})}^{2} \leq {(y_{2} - y_{1})}^{2}

und somit..."

geschrieben.

Wegen

{(a - b)}^{2} = {(b - a)}^{2}

ist es zwar egal

aber der kleine Pedant in mir

will immer alles

1 a,

naja...

Anbei noch eine Aufgabe zum Banachschen Fixpunktsatz

aus meiner Analysis 2-Zeit...

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