Startseite » Forum » Anwendung von Hopfs Maximumprinzip

Anwendung von Hopfs Maximumprinzip

Universität / Fachhochschule

12:51 Uhr, 20.10.2020

Hey zusammen, könnte mir bitte jemand bei dem Beweis von diesem Satz helfen?:-)
Ich verstehe auch nicht, wie ich diesbezüglich mit

∣ D u ∣

umgehen muss. Wäre schön wenn jmd. eine Antwort darauf hätte, wie der Beweis zu führen ist. :-))

Sei

u \in C^{2} (Ω)

und

u

erfülle

\sum_{i, j} a_{i j} \partial_{x_{i} x_{j}}^{2} u \leq b (x) (u + ∣ D u ∣)

,
mit

a_{i j}

b

Ω

lokal beschränkt, und

a_{i j}

lokal gleichmäßig positiv definit. Falls

u \geq 0

Ω

und

u

an irgendeinem Punkt

x_{0}

Ω

den Wert Null annimmt, dann gilt

u \equiv 0

Ω

.

Es gibt einen Hinweis für den Beweis:
Man soll

b_{i} (x) = - b (x) \partial_{x_{i}} u / ∣ D u ∣

, wenn

D u \neq 0

und

b_{i} (x) = 0

, wenn

D u = 0

setzem und dann

b (x) ∣ D u ∣ = - \sum b_{i} (x) \partial_{x_{i}} u

.

Anscheinend muss ich ein anderes Theorem auf die Funktion -u anwenden. Dieses lautet:
Sei

u

eine

C^{2}

-Funktion, die die Differentialungleichung

L u + c (x) u \geq 0 (\leq 0)

in einem Gebiet

Ω

erfülle, wobei für die Koeffizienten von

L

gilt:

[a_{i j}] = [a_{i j} (x)]

Ω

lokal gleichmäßig positiv definit

a_{i j}

b_{i} = b_{i} (x)

Ω

lokal beschränkt
und die Funktion

c

sei in

Ω

lokal nach unten beschränkt. Wenn

u

ein verschwindendes Maximum (Minimum)

M = 0

Ω

annimmt, dann folgt

u \equiv 0

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1514242

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?