Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Anwendung von Logarithmen

Anwendung von Logarithmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Halbwertszeit, Jod 131, Logarithmus

Lu1412 aktiv_icon

18:07 Uhr, 30.01.2012

Hi,
kann mir bitte jemand erklären wie ich auf das Ergebnis komme?:
Jod $131$ hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Nach wie vielen Tagen sind $95 %$ einer
ursprunglich vorhandenen Stoﬀmenge zerfallen? ¨

Lösung: $34,6$ Tag

Vielen Dank :-)
Luisa

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Exponentielles Wachstum und Zerfall
Logarithmusgesetze - Einführung

Matheboss aktiv_icon

11:07 Uhr, 31.01.2012

Da ich nicht weiß in welche Klasse Du gehst, gehe ich jetzt davon aus, dass Du aus der Physik die Formel für den radioaktiven Zerfall kennst.

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- \frac{ln (2)}{T} \cdot t}$ mi $T =$ Halbwertszeit=8 Tage und $N_{0} =$ Anfangsbestand

Da $95 %$ von $N_{0}$ zerfallen sind, sind noch $5 %$ vorrätig.

$0,05 \cdot N_{0} = N_{0} \cdot e^{- \frac{ln (2)}{8} \cdot t}$ durch $N_{0}$ teilen

$0,05 = e^{- \frac{ln (2)}{8} \cdot t}$ und logarithmieren
$ln (0,05) = - \frac{ln (2)}{8} \cdot t$

$t = - 8 \cdot \frac{ln (0,05)}{ln (2)}$

$t = 34,6$ (Tage)

Oder 2. Weg

$N (t) = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$
weiter wie oben
$0,05 \cdot N_{0} = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{8}}$
$0,05 = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{8}}$ logarithmieren und Du kommst zum selben Ergebnis.
$t = 34,6$ (Tage)

tempo778 aktiv_icon

11:15 Uhr, 31.01.2012

Wenn die Halbwertszeit 8 Tage beträgt, ist der Faktor für einen Tag die 8. Wurzel aus $0,5 .$
Wenn $95 %$ zerfallen sind, sind nur noch $5 % = 0,05$ vorhanden. Anzahl der gesuchten tage sei $d .$
Gleichung: $100 %$ mal $(8$ . Wurzel aus $0,5)$ hoch $d = 5 %$
einfacher $(8$ . Wurzel aus $0,5)$ hoch $d = 0,05$
Wenn beide Seiten der Gleichung gleich sind, muss auch ihr Logarithums gleich sein, also:
lg $((8$ . Wurzel aus $0,5)$ hoch $d) =$ lg $(0,05)$
umgeformt:
$\frac{d}{8}$ mal lg $(0,5) =$ lg $(0,05)$
$d = 8$ mal lg $(0,05)$ durch lg $(0,5)$
$d$ ist also ungefähr $34$ ½ Tage oder $34$ Tage und ca. $13,8$ Stunden

Lu1412 aktiv_icon

19:04 Uhr, 31.01.2012

Nein, die Formel hatten wir noch nicht.. bin in der $11$ . Klasse

Matheboss aktiv_icon

10:58 Uhr, 01.02.2012

Dann musst Du meinen 2. Weg nehmen.
Eine Exponentialfunktion hat die Form
$f (x) = a \cdot b^{k \cdot x}$

Da der Schwundfaktor $b = \frac{1}{2}$ und die Anfangsmenge $a = N_{0},$ hängt die übrig gebliebene Menge $N (t)$ von der vergangenen Zeit $t$ (Tage) und der Halbwertszeit $T = 8$ (Tage) ab, also $k = \frac{1}{8}$
$N (t) = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{8}}$
Da $95 %$ von $N_{0}$ zerfallen sind, sind noch $5 %$ von $N_{0}$ übrig.

$0,05 \cdot N_{0} = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{8}}$ teilen durch $N_{0}$
$0,05 = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{8}}$ und logarithmieren beide Seiten
$log (0,05) = log ({(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{8}})$ Logarithmusgesetzt anwenden
$log (0,05) = (\frac{t}{8}) \cdot log (\frac{1}{2})$ durch $log (\frac{1}{2})$ teilen
$\frac{log (0,05)}{log (\frac{1}{2})} = \frac{t}{8}$ mal 8
$8 \cdot \frac{log (0,05)}{log (\frac{1}{2})} = t$
$t = 34,6$ (Tage)

Lu1412 aktiv_icon

17:51 Uhr, 08.02.2012

Danke :-)

971914

969013

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?