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Anwendungsaufgabe beschränktes Wachstum

Schüler Gymnasium,

Tags: Anwendungsaufgaben, Beschränktes Wachstum

Katharina-

19:35 Uhr, 12.12.2011

Hey :-),

ich wollte einfach mal Anwendungsaufgaben üben, um das Thema in Mathe, das wir gerade durchnehmen, besser zu verstehen. Im Internet habe ich dazu eine Seite gefunden, in der folgende Aufgabe steht:
Eine Flasche Cola wird aus dem Eisschrank (5°C) geholt. (Raumtemperatur ist 20°C) Nach

10

Minuten wird eine Temperatur von 12°C gemessen.
Welche Temperatur hat die Cola nach

20

Minuten?
Wann ist die Cola 15°C warm?
(Quelle ditzen-kempen.de/schule/mathe/links/12/wachstum_zerfall_uebungen.htm )
Mein Ansatz:
- Formel: 20+5e^(-kt)+c

- T (0) = 5

- T (\to) = 20

10 = 20 + 5 e^{- k \cdot 12} | - 20

- 10 = 5 e^{- k \cdot 12} | : 5

- \frac{10}{5} = e^{- 12 k} | ln

ln - \frac{10}{5} = - 12 k | : (- 12)

k =

Ja, der Logarithmus löst keine negativen Zahlen

: (

. Deswegen komme ich gerade nicht weiter. Kann mir bitte jemand helfen und mir sagen, wie es mit der restlichen Aufgabe weitergeht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

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12:23 Uhr, 13.12.2011

Ansatz

T (t) = S - c e^{k t}

Sättigung

S

liegt bei

20

grad (wärmer wird die cola nicht)

T (t) = 20 - c e^{k t}

zum startzeitpunkt

T (0)

beträgt die temperatur 5 grad

T (0) = 20 - c e^{k \cdot 0} = 5

20 - c e^{0} = 5

20 - c \cdot 1 = 5

20 - c = 5

20 = 5 + c

15 = c

ergebnis in formel einsetzen

T (t) = 20 - 15 e^{k t}

nach

10 min

beträgt die temperatur

12

grad

T (10) = 20 - 15 e^{k \cdot 10} = 12

20 = 12 + 15 e^{k \cdot 10}

8 = 15 e^{k \cdot 10}

\frac{8}{15} = e^{k \cdot 10}

ln (\frac{8}{15}) = k \cdot 10

- 0.063 = k

also ist die fertige formel

T (t) = 20 - 15 e^{- 0.063 t}

damit kannst du dann die folgenden fragen beantworten

lg

Katharina-

16:22 Uhr, 14.12.2011

Danke für den Ansatz :-)

Das heißt nach

20

Minuten:

20 - 15 e^{- 0,063 \cdot 20} = 15,7

[

°C]?

Und bei 15°C :

15 = 20 - 15 e^{- 0,063 t} | + 15

20 = 15 + 15 e^{- 0,063 t} | - 15

5 = 15 e^{- 0,063 t} | : 15

\frac{5}{15} = e^{- 0,063 t} | ln

ln (\frac{5}{15}) = - 0,063 t | : (- 0,063)

t = 17,4 [min .]

?

Ich habe auch noch ein paar Fragen:

1)

Woher hast du die Formel

S - e^{k \cdot t}

? Ich kenne nur S+(f(0)-S(e^(-kt)
2)Ich kann deine Umformungsschritte bei

T (0)

(nur die ersten beiden) nicht nachvollziehen.Wie hast du das gemacht?

3)

Warum hast du bei der Umformung

T (10) - 12

genommen und beim nächsten Schritt

: 15

? Warum nicht

- 15

bzw.

: 12

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18:59 Uhr, 14.12.2011

sieht gut aus... (ich habs jetzt nicht in taschenrechner getippt, aber die rechenwege sind schonmal in ordnung)

1)

die formel hab ich aus dem link, den du ganz oben angegeben hast. deine formel ist aber äquivalent dazu, allerdings fehlt da irgendwo ne klammer...

2)

ich habe fuer

t

einfach eine null eingesetzt. dann ergibt sich

e^{0}

und eine zahl hoch null ergibt nun mal eins.

3)

weil die

12

additiv mit dem

e

term verknuepft ist. dann muss man subtrahieren um die

12

wegzubekommen. die

15

ist multiplikativ mit dem

e

verknuepft... dann muss man durch

15

teilen, um die

15

wegzubekommen

lg

Katharina-

19:54 Uhr, 14.12.2011

Ah!Okay, jetzt hab ich es verstanden :-)
Danke für deine Hilfe :-)!

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