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Anwendungsaufgaben" (Modellieren, bewerten etc.).

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: anwendungsorientierten Aufgaben, Stochastik

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20:54 Uhr, 04.10.2011

Bei einem Fußballspiel werden die Eingänge des Stadions

90

Minuten vor
Spielbeginn geöffnet. Es können dann

250

Personen pro Minute das Stadion
betreten. Das Spiel beginnt um

20.30

Uhr, die ersten Besucher kommen

130

Minuten vor Spielbeginn.
Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der pro Minute ankommenden Personen in
Abhängigkeit von der Zeit

t

. Dabei entspricht der Zeitpunkt

t = 0

dem Spielbeginn.

t

in Minuten

- 130, - 110, - 90, - 70, - 60, - 50, - 30, - 10, 10

Ankunftsrate in
Personen

/ min 2, 59, 181, 283, 295, 280, 187, 67, 0

1.1

Der Zusammenhang zwischen Zeit und Ankunftsrate soll durch eine Funktion
beschrieben werden. Bestimmen Sie einen passenden Funktionsterm.

1.2

Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben mit Hilfe Ihres in

2.1

bestimmten Funktionsterms.

1.2.1

In welchem Zeitraum kommen mehr als

250

Personen pro Minute an?

1.2.2

Wie viele Personen warten um

19.00

Uhr auf Einlass?

1.2.3

Ab wann können die ankommenden Personen ohne Wartezeit das Stadion
betreten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:29 Uhr, 06.10.2011

Der Zusammenhang zwischen der Ankunftsrate

f (t)

und der Zeit kann gut beschrieben werden durch eine Parabel, die man am Besten durch eine polynomische Regression bekommt,z.B.

f (t) = - 0,06 t^{2} - 7 t + 50

2.2

. Wie viele Personen warten um

19.00

Uhr auf den Einlass?
Dazu muss Funktion

F (t) = \int f (t) d t

ermitteln werden:

F (t) = - 0,02 t^{3} - 3,5 t^{2} + 50 t + C

Setzen wir etwa

F (- 130) = 0,

dann erhalten wir

C = 21710

dann ist um

19.00 : F (- 90) = - 0,02 \cdot {(- 90)}^{3} - 3,5 \cdot {(- 90)}^{2} + 50 \cdot (- 90) + 21710 = 3440

2.3

. Ab wann können die ankommenden Personen ohne Wartezeit das Stadion
betreten?
Dazu müssen wir die Funktion der wartenden Personen abändern, weil ab

19.00 (t = - 90) 250

Personen pro Minute eingelassen werden:
Es gilt für

t \geq - 90 : F (t) = - 0,02 t^{3} - 3,5 t^{2} + 50 t + 21710 - 250 (90 + t)

Jetzt müssen wir diese Funktion

= 0

setzen:

- 0,02 t^{3} - 3,5 t^{2} + 50 t + 21710 - 250 (90 + t) = 0 \Rightarrow

- 0,02 t^{3} - 3,5 t^{2} - 200 t - 790 = 0 | \cdot (- 50)

t^{3} + 175 t^{2} + 10000 t + 39500 = 0 \Rightarrow t \approx - 4,25,

also erst kurz vor Spielbeginn

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20:03 Uhr, 06.10.2011

Vielen dank :-) aber in welchem Zeitraum kommen mehr als

250

Personen pro Minute an?

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20:15 Uhr, 06.10.2011

das kannst du doch aus der Tabelle ablesen, etwa von

- 90

bis

- 60

oder mit der Formel ausrechnen:

- 0,06 t^{2} - 7 t + 50 > 250 | - 250

- 0,06 t^{2} - 7 t - 200 > 0 | : (- 0,06)

t^{2} + 116 \frac{2}{3} t + 3333 \frac{1}{3} < 0

Die Gleichung

t^{2} + 116 \frac{2}{3} t + 3333 \frac{1}{3} = 0

hat die Lösungen

t = - 58 \frac{1}{3} \pm \sqrt{69 \frac{4}{9}} = - 58 \frac{1}{3} \pm 8 \frac{1}{3},

also

t_{1} = - 66 \frac{2}{3}

und

t_{2} = - 50

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20:16 Uhr, 06.10.2011

ya hatte ich mir gedacht aber sicher ist sicher :-) danke nochmal

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15:02 Uhr, 07.10.2011

eine Frage und zwar kann ich nicht eine sinusfunktion als einen passenden funktionsterm für die aufgabe nehmen?

Gerd30.1 aktiv_icon

09:27 Uhr, 08.10.2011

man auch durch

f (t) = - 150 \cdot sin (\frac{π}{60} \cdot t + 20) + 150

gut annähern!!Dann wird

F (t) = \int (- 150 \cdot sin (\frac{π}{60} \cdot t + 20) + 150) d t = \frac{150 \cdot 60}{π} \cdot cos (\frac{π}{60} t + 20) + 150 t + C \Rightarrow

F (10) = \frac{150 \cdot 60}{π} \cdot cos (\frac{π}{60} \cdot 10 + 20) + 1500 + C = 0 \Rightarrow C = - 67,6

und damit

F (- 90) = \frac{150 \cdot 60}{π} \cdot cos (- \frac{π}{60} \cdot 90 + 20) + 1500 - 67,6 \approx 4048

für die 3. Aufgabe muss die Gleichung

0 = \frac{150 \cdot 60}{π} \cdot cos (\frac{π}{60} t + 20) + 150 t - 67

gelöst werden. Dies geht nur nummerisch!!

t \approx - 18

Du siehst:es handelt sich immer nur um Näherungen!!

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10:07 Uhr, 08.10.2011

aber wieso kommen so unterschiedliche lösungen raus, auch eine funktion 4. grades würde funktionieren

Gerd30.1 aktiv_icon

10:15 Uhr, 08.10.2011

Die Mathematik kann nur in ganz wenigen Fälle reale Prozesse 1 zu 1 abbilden!!

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10:26 Uhr, 08.10.2011

die erste lösung leuchtet mir ein aber wenn ich 2. grades nehme passt diese funktion nicht so gut wie die sinus funktion

: (

Gerd30.1 aktiv_icon

10:43 Uhr, 08.10.2011

Ich schicke dir mal einer Bilddatei mit mit dem Graphen und einer Tabelle mit den realen y-Werten und den y1-Werten der Parabel und den y2-Werten der trigonometrischen Näherung.
Anmerkung: In der Schule bekommt man oft den Eindruck vermittelt, dass die Mathematik reale Probleme exakt lösen kann. Die meisten realen Probleme lassen sich leider nur durch Näherungen lösen, aber das ist doch schon was!