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Anzahl Gruppen - Gruppen mit nur Neutralelement?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Anzahl Elemente, Gruppen, Ordnung

student11 aktiv_icon

14:36 Uhr, 25.01.2012

Hallo zusammen

Ich schaue gerade, wie viele Gruppen von bestimmter Ordnung ich finde.

Von Ordnung 2 und 3 gibt es jeweils nur eine und von Ordnung 4 gibt es zwei.

Gibt es denn eine Gruppe der Ordnung 1? Wenn ich die Axiome anschaue, muss eine Gruppe assoziativ sein.. (kann sie auch, auch wenn sie nur ein Elment hat), es muss ein Neutralelement geben (ok, das einzige Element in der Gruppe muss das Neutralelement sein), und jedes Element braucht ein Inverses (ok, das Neutralelement ist "selbstinvers" (naja nicht gerade, es hat Ordnung

1,

alle Elemente mit Ordnung 2 wären selbstinvers, oder??), aber

e \cdot e = e

wäre in Ordnung..)
Aber irgendwie habe ich gemeint, ich hätte mal irgendwo gelesen, dass

Z 2

(Addition modulo

2,

also eigentlich xor) die kleinste Gruppe wäre..
Gibt es denn nun eine Gruppe der ordnung 1?

Gibt es eine einfache Methode, herauszufinden, ob 2 Gruppen zueinander isomorph sind? sie müssen ja sicherlich dieselbe Ordnung haben, je 2 Elemente müssen immer dieselbe Ordnung haben, sie müssen beide kommutativ oder nicht-kommutativ sein.. Aber findet man das raus, ohne dass man die Ordnung jedes Elements bestimmen muss?
Wenn ich "isomorph" bezüglich Gruppen höre, denke ich sofort an den Chinesischen Restsatz, jedoch verstehe ich den Zusammenhang immer noch nicht wirklich...
Mir ist aber klar, dass jede zyklische Gruppe der Ordnung

n

isomorph ist zu Zn, denn dann hat man den Isomorphismus mit dem Generator hoch Potenz, und Potenzen addieren..

Vielen Dank für eure Antworten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

student11 aktiv_icon

14:54 Uhr, 25.01.2012

Ich hab auf Wikipedia eine Liste gefunden, scheint in dem Falle doch eine Gruppe zu sein mit nur einem Element..

http//de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

Die Frage wegem dem Isomorphismus hat sich aber noch nicht erübrigt, falls jemand eine gute Erklärung parat hätte, wäre ich sehr dankbar..

hagman aktiv_icon

19:48 Uhr, 25.01.2012

Die Frage nach der Isomorphie ist auch keineswegs trivial.
In Spezialfällen (zum Beispiel endlich erzeugte abelsche Gruppen) kann man zu jeder Gruppe eine Standardform angeben (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen) und dann sind zwei Gruppen genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Standardform haben.

Im Allgemeinen geht das aber nicht so.
Beispielsweise ist die Symmetriegruppe eines Dodekaeders isomorph zur von den Zykeln

(1 2 3)

und

(1 4 5)

erzeugten Untergruppe der Permutationsgruppe

S_{5}

. Leicht zu sehen ist das aber nicht. (zumindest ist nicht leicht zu sehen, warum das leicht zu sehen ist)

student11 aktiv_icon

23:25 Uhr, 25.01.2012

Hmm
Irgendwo habe ich gelesen, dass: Der Chinesische Restsatz sagt, dass Zn×Zm≈Znm, falls ggT(n,m)=1.
Dennoch ist das noch keine ausreichende Begründung für Probleme, wieso beispielsweise

< Z 12 ⋆, ⋆ >

isomorph ist zu

< Z 2, + > x < Z 2, + >

Beide haben 4 Elemente, dann muss man einfach noch die Ordnung überprüfen? Denn es wäre ja ebenso möglich, dass diese Gruppe isomorph wäre zu

Z 4 .

. Aber das

Z 12 \cdot

nicht zyklisch ist, kann sie nicht zu

Z 4

isomorph sein..

Aber das muss man alles zuerst überprüfen? Ich muss schauen, ob ich einen Generator finden kann, ich sehe, dass alle Elemente selbstinvers sind, deshalb Z2xZ2..? Aber ich muss diesen Weg zuerst machen?

Auch bei den Z*-Gruppen verstehe ich das Ganze noch nicht wirklich..
Habe ich eine Primzahl

p,

dann ist

Z ⋆ p

ja sicherlich zyklisch, und sie enthält

ψ (ψ (p))

Generatoren. Aber wieso? Ich weiss, dass diese Gruppe

ψ (p) = p - 1

Elemente enthält. Mit

ψ (p - 1)

erhalte ich dann die Anzahl der zu

p - 1

teilerfremden Zahlen, doch wieso entspricht dies der Anzahl Generatoren?
Sind alle zu

p

und

p - 1

teilerfremden Zahlen Generatoren der Gruppe

Z ⋆ p

Sina86

00:59 Uhr, 26.01.2012

Hallo,

zunächst einmal, was du mit

ℤ_{2}

gelesen hast, das war mit sicherlich der kleinste mögliche Körper, da in einem Körper ein

1

-Element unterschiedlich vom

0

-Element existieren muss.

Hast du im Allgemeinen eine Gruppe

G

der Ordnung

∣ G ∣ = s

und findest du in

G

ein Element

g \in G

mit Ordnung

s

, so ist dieses Element auch ein Erzeuger der Gruppe. Hat nun ein Element

h \in G

eine zu

s

teilerfremde Ordnung, so muss auch dies ein Erzeuger sein. Denn

< h > \leq G

ist eine Untergruppe und nach dem Satz von Lagrange (ich glaube so hieß der) gilt

\frac{∣ G ∣}{o r d (h)} = n \in ℕ

. Da jedoch

g g T (∣ G ∣, o r d (h)) = 1

, ist

∣ G ∣ = o r d (h)

. Und insbesondere

G = < h >

.

Gruß
Sina

student11 aktiv_icon

01:02 Uhr, 26.01.2012

Vielen Dank für deine Antwort.. Es muss also jedes Element verschieden vom Neutralelement Ordnung

s

haben, denn sonst würde der Satz von Lagrange nicht erfüllt.. Danke :-)

Das mit keiner Gruppe der Ordnung

1,

kann das sein, dass das Konvention ist?
Denn auf
http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen
steht, dass es eine triviale Gruppe der Ordnung 1 gibt?

student11 aktiv_icon

10:19 Uhr, 26.01.2012

Ich habe das mit den

ψ (ψ (m))

Generatoren wohl doch noch nicht ganz verstanden..

Ich habe eine Gruppe, sagen wir es sei

Z ⋆ 7 = {1,2,3,4,5,6}

ψ (7) = p - 1 = 6

Jetzt hat diese Gruppe

ψ (ψ (7)) = ψ (6) = 2

Generatoren. Das kann man leicht überprüfen, stimmt also..

Aber wieso..? Mit

ψ (6)

berechne ich alle die zu 6 "teilerfremden" Zahlen, das sind nämlich:

Z ⋆ 6 = {1,5}

DOch nur weil die teilerfremd sind, heisst das ja noch lange nicht, dass diese auch eine teilerfremde Ordnung haben müssen..

Ich habe bei

Z ⋆ 7

die Orndnung

6,

jedes Element in

Z ⋆ 7

kann also Orndung

1, 6, 2

oder 3 haben. Was nützt es mir, wenn ich dann ord(Z**6)=ord(

{

1,5}) berechne? Es wäre ja eigentlich durchaus möglich, dass 1 die Ordnung 1 hat, 2 die Ordnung

3, 3

die Ordnung

2, 4

die Ordnung

3, 5

die Ordnung 2 und 6 die Ordnung 2 beispielsweise..
Einfach so auf den ersten Blick würde ja da von meiner Seite aus nichts dagegen sprechen, und ich sehe irgendwie auch nicht den Zusammenhang zu den zu 6 teilerfremden Zahlen. Mit

ψ (6)

bekomme ich ja unter anderem die 1 miteinberechnet..

??

Ich bin total verwirrt.. Bitte helft mir..

student11 aktiv_icon

10:53 Uhr, 26.01.2012

Habe in meinem Skript noch folgende Aussage gesehen:

g^{i}

ist ein Generator (eienr zyklischen Gruppe der Ordnung

n)

genau dann falls ggT(i,n)=1

Hilft mir ja aber glaube ich auch nicht viel weiter, oder schon?

michaL aktiv_icon

13:17 Uhr, 26.01.2012

Hallo,

@Sina86: Ein Element

h

einer endlichen Gruppe

G

der Ordnung

s

hat i.a. KEINE zu

s

teilerfremde Ordnung. Das einzige Element, das eine zur Gruppenordnung teilerfremde Ordnung hat, ist das neutrale Element.
Es gilt nämlich stets:

ord (h) ∣ ord (G)

, was man letztlich aus der Theorie der (Links-)Nebenklassen folgern kann. Der einzige teilerfremde Teiler einer Zahl

s

ist aber die 1, woraus folgt, dass zugehöriges Element das neutrale ist. Die erzeugt aber nur dann die Gruppe, wenn die Gruppe ebenfalls nur die Ordnung 1 hat.

Mfg Michael

student11 aktiv_icon

13:24 Uhr, 26.01.2012

Kannst du mir denn mit meinem Problem helfen, Michal?

Ich verstehe einfach nicht, wieso

ψ (6)

die Anzahl Generatoren von

Z ⋆ 7

ergibt..

Lagrange sagt mir etwas, aber ich versteh den Zusammenhang nicht. Wir hatten Lagrange sogar so halbwegs hergeleitet und haben uns auch mit den Cosets beschäftigt.

Also ich glaube bei uns hiess es, dass Lagrange gilt, weil:
Wenn ich eine Gruppe

G

habe und davon eine Untergruppe

U

nehme, hat jedes Coset davon genau

| U |

Elemente. Da die Vereinigung aller Cosets genau die Gruppe ergibt und jedes Coset genau gleich viele Elemente enthält, muss schliesslich

n \cdot | U | = | G |

sein, wobei

n

die Anzahl Cosets ist..
Irgendetwas in diese Richtung..

michaL aktiv_icon

13:44 Uhr, 26.01.2012

Hallo,

(ℤ_{7}^{*}, \cdot)

ist eine (multiplikative) Gruppe der Ordnung 6. Insbesondere ist sie abelsch. Wenn ihr den Hauptsatz (für endliche erzeugte abelsche Gruppen) schon hattet, dann weißt du, dass es bis auf Isomorphie nur eine einzige abelsche Gruppe der Ordnung 6 gibt, etwa

(ℤ_{6}, +)

.
Additiv ist die Sache etwas einfacher zu denken (besonders am Anfang). Weil man hier sehen kann, dass die Gruppe insbesondere zyklisch ist. Zyklisch heißt doch additiv, dass es ein Element

x

gibt, sodass

G = {n \cdot g ∣ n \in ℕ}

gilt.
Oder in Worten: Alle Elemente sind Vielfache des Erzeugers.

Ok, dann kann man sich doch einfach klar machen, welche Elemente von

(ℤ_{6}, +)

NICHT als Erezuger dienen können: offenbar die Elemente, deren ggT mit 6 größer ist als 1. Ist nämlich

x \in (ℤ_{6}, +)

mit

ggT (x, 6) = k > 1

, dann gilt also sowohl

k ∣ 6

als auch

k ∣ x

, so gilt auch

k ∣ n \cdot x - z \cdot 6

, d.h.

x

kann die Elemente zwischen 1 und

k - 1

nicht erzeugen.

Gilt umgekehrt aber

ggT (x, 6) = 1

, so gibt es ganze Zahlen

n, m

mit

ggT (x, 6) = n x + 6 m = 1

, insbesondere wird also die 1 von

x

erzeugt. 1 ist selbst ein Erzeuger, woraus folgt, dass man mit

x

also die ganze Gruppe erzeugen kann.

Also hängt es davon ab, ob der ggT mit 6 und dem mutmaßlichen Erzeuger gleich 1 ist oder nicht. Und dafür ist eben die eulersche Phifunktion bzw.

φ

-Funktion da, um die Anzahl solcher Zahlen anzugeben.

Mfg Michael

student11 aktiv_icon

13:54 Uhr, 26.01.2012

Oh, ich habe immer das falsche Symbol verwendet...

Ich weiss, dass jede zyklische Gruppe isomorph ist zur additiv geschriebenen Gruppe mit ord(G) Elementen. Mir ist also klar, dass beispielsweise

Z ⋆ 7

isomorph zu

Z φ (7)

(additiv) ist.
Da diese Gruppe

Z φ (7) = Z 6

genau alle diese Elemente als Generatoren enthält, die teilerfremd zu 6 sind, gibt es genau

φ (6)

Generatoren, nämlich alle teilerfremden Zahlen zu 6 (inklusive

1),

da 1 auch ein Generator ist. Wenn ich jetzt noch wissen will, welches diese 2 Generatoren sind in

Z ⋆ 7

muss ich dazu den Isomorphismus kennen.

Da ich jede zyklische Gruppe auch als Potenzen des Generators schreiben kann, müsste ich zuerst aber einen Generator finden, um dann diesen Isomorphismus anwenden zu können. Der Isomorphismus ist ja:

a \cdot b = g^{i} \cdot g^{j} \to

ich rechne nur

i + j

und erhalte dann

g^{i + j} = a \cdot b .

.

Da ich weiss, dass 1 ein Generator von

Z 6

ist und 5 ein Generator von

Z ⋆ 7

kann ich ja beispielsweise für

6 \cdot 4

rechnen:

6 = 5^{3}

4 = 5^{2}

Ich rechne

3 + 2 = 5

das Resultat ist dann

5^{5} = 3 .

.

Doch damit ich das machen kann, muss ich mindestens einen Generator kennen..
Oder wie kann ich denn effizient die Generatoren einer Gruppe (von der ich weiss, dass sie zyklisch ist (für das haben wir ein Theorem bezüglich Primzahlpotenz,..)) finden?

hagman aktiv_icon

14:38 Uhr, 26.01.2012

Effizient vielleicht nicht.
Wähle zunächst ein beliebiges Element

a_{1}

und berechne all seine Potenzen. Das liefert dir die Ordnung von

a_{1}

sowie die Ordnung seiner Potenzen: Es ist

o r d (a_{1}^{m}) = \frac{o r d (a_{1})}{g g T (m, o r d (a_{1}))}

.
Falls du so noch keinen Erzeuger gefunden hast, wähle ein weiteres Element

a_{2}

und bilde Potenzen, bis du auf ein Element stößt, dessen Ordnung du bereits kennst (also auf eine Potenz von

a_{1})

. Das liefert dir die Ordnung von

a_{2}

und erlaubt dir die Ordnung aller Potenzen von

a_{2}

zu notieren.
Fahre fort, bis du einen Erzeuger gefunden hast.

Beispiel

ℤ_{7}^{⋆} :

Fang an mit

a_{1} = 2

. Potenzen sind

2, 4, 1

. Also

o r d (2) = o r d (4) = 3

(und natürlich sowieso

o r d (1) = 1)

.
Nächster Versuch: 3. Potenzen sind

3, 2 -

schon bekannt. Alos

o r d (3) = 6,

Erzeuger gefunden

student11 aktiv_icon

14:46 Uhr, 26.01.2012

Hmm, ich muss mir das schnell durch den Kopf gehen lassen..

Nur schnelle Nebenfrage..

Du schreibst ord(1)=0 ? Ist das eine Frage der Konvention, oder täusche ich mich, wenn ich denke, dass

< 1 >

ja ein Element enthält und somit 1 die Ordnung 1 haben sollte?

hagman aktiv_icon

16:46 Uhr, 26.01.2012

Ich hab's oben korrigiert.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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