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Anzahl Untergruppen mit gewisser Ordnung
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Hallo zusammen Ich habe schon mal eine ähnliche Frage gestellt, dann aber irgendwie keine Antwort bekommen, deshalb formuliere ich die Frage nochmals um, in der Hoffnung, dass es diesmal verständlicher ist.. In einer zyklischen Gruppe der Ordnung kann man die Anzahl Generatoren einfach mit bestimmen, denn jede zyklische Gruppe der Ordnung ist isomorph zu und hat alle Elemente als Generatoren, die zu teilerfremd sind, deshalb denn liefert gerade die Anzahl der zu teilerfremden Zahlen.. Die Untergruppen einer zyklischen Gruppe sind ja alle zyklisch, deshalb gibt es zu jeder Ordnung nur gerade eine Untergruppe, da die wieder alle isomorph sind.. Kann ich aber mit wenn die Untergruppenordnung ist, gerade feststellen, dass es "verschiedene" Gruppen gibt, die alle zueinander isomorph sind? Wieso gilt Lagrange in die andere Richtung? Also wieso kommt jeder Teiler der Gruppenordnung einer Gruppe als Untergruppenordnung vor? Gibt es eine Möglichkeit in einer nicht-zyklischen Gruppe effizient die Anzahl Untergruppen einer bestimmten Ordnung zu bestimmen? Gibt es eine Möglichkeit, effizient alle Untergruppen zu bestimmen? ODer muss man da einfach ein Element wählen und dann schauen, was man dazunehmen muss, sodass es abgeschlossen ist? Also sicherlich Neutralelement rein abgeschlossen, erste Untergruppe. Neues Element dazu nehmen und Inverses dazu tun,...? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wenn gibt es nicht verschiedene Untergruppen der Ordnung sondern nur verschiedene Generatoren der einzigen Untergruppe der Ordnung . Bemerkenswerterweise folgt hieraus übrigens denn jedes Element erzeugt ja irgendeine Untergruppe. :-) Bei abelschen Gruppen erlaubt es der Satz über die Klassifikation aller endlichen abelschen Gruppen, sehr gut die Untergruppen einer gegebenen Ordnung abzuzählen. Bei nicht-abelschen Gruppen ist das schon schwieriger, beispielsweise gibt es nicht unbedingt zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine entsprechende Untergruppe. |
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Super, vielen DAnk.. Das sollte vorerst mal genügen.. :-) |
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