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Anzahl der Äquvalenzklassen bestimmen (Aufgabe)

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Äquivalenzklassen, Äquivalenzrelation, Matrizenrechnung

Shuumi aktiv_icon

10:59 Uhr, 29.04.2015

Es gibt eine Relation auf der Menge

M a t_{n} (K)

(nxn-Matrizen)

A ~ B \Leftrightarrow \exists S, T ε G L_{n} (K)

mit

B = S A T

Es ist eine Äquivalenzrelation (Wurde schon bewiesen).

Frage: Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?

Idee:
Bei

n = 1

gibt es ja nur 1 Äquivalenzklasse.
Bei

n = 2

haben wir meiner Meinung nach schon

15 :

(\begin{matrix} x_{1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

bilden eine davon, dann noch

(\begin{matrix} 0 & x_{2} \\ 0 & 0 \end{matrix})

usw gibt dann 4 ÄK.
Danach haben wir 2 Werte pro Matrix

(\begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{1} & 0 \\ x_{3} & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{1} & 0 \\ 0 & x_{4} \end{matrix})

Sind auch jeweils eine ÄK. Davon gibt es dann 6
Mit 3 Einträgen gibt es

(\begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ 0 & x_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{1} & 0 \\ x_{3} & x_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{matrix})

.
Mit 4 Einträgen gibt es ja nur eine. Also

15

insgesamt.
Ist das Richtig? Und wie berechnet man das für beliebige n?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:13 Uhr, 29.04.2015

"Ist das Richtig?"

Nein. Im Fall

n = 2

gibt's nur drei Klassen. Denn es gilt generell: alle Matrizen des gleichen Ranges sind in derselben Klasse.
Siehe hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenz_(Matrix)

Shuumi aktiv_icon

11:21 Uhr, 29.04.2015

Also bei

n = 1

gibt es 2 Klassen: der Rang 0 und 1.
Somit ergibt sich, dass es

n + 1

Äquivalenzklassen gibt.
Aber wie zeige ich das?

DrBoogie aktiv_icon

11:25 Uhr, 29.04.2015

Da würde ich empfehlen, nach dem entsprechenden Satz im Netz (Skript, Buch etc.) zu suchen, denn selber so was beweisen zu versuchen ist definitiv kein Spaß. :-)
Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass dies gefordert ist.

Shuumi aktiv_icon

11:28 Uhr, 29.04.2015

So... Es war einfacher als ich gedacht habe :-) Danke für die Hilfe!

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