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Anzahl der Schafe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Potenz, Schäfer

infinityx aktiv_icon

10:51 Uhr, 25.11.2013

Es geht um ein altes Matherätsel und verstehe nicht ganz wie man als Lösung auf

127

kommt, also genauer

2^{7} - 1 = 127

. Wieso -1?

Als man einen Schäfer nach der Zahl seiner Schafe fragte, gab er zur Antwort: "Wenn ich von meinen Schafen die Hälfte und ein halbes verkaufen würde, und dann von dem Rest wieder die Hälfte und ein halbes, und das noch ein drittes, ein viertes, ein fünftes und ein sechstes Mal, so würde ich immer noch ein Schaf übrig haben."
Wie viele Schafe waren in der Herde des Schäfers?
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Rasaphar aktiv_icon

12:11 Uhr, 25.11.2013

Hallo infinityx,

man könnte folgender Maßen da dran gehen. Prinzipiell halbiert der Schäfer 6 Mal seine Herde und rundet dabei ab (indem er ein "halbes" Schaf verkauft, also das eine "halbe Schaf" als ganzes verkauft. Von

15

Schafen verkauft er

7,5

Schafe, das ist die eine Hälfte, und noch ein halbes von der anderen Hälfte. Also 8 Schafe verkauft er, 7 behält er)

Wenn du nun weißt, dass er nach 6 Verkäufen noch ein Schaf hat, kannst du rückwärts rechnen.

1 Schaf hat er. Addiere das "halbe Schaf", was er zusätzlich zur Hälfte verkauft hat dazu und verdoppelt es.

1.

(1 + 0,5) \cdot 2 = 3

Hier geht das Spielchen weiter.

2.

(3 + 0,5) \cdot 2 = 7

(7 + 0,5) \cdot 2 = 15

. .

. etc
6.

(63 + 0,5) \cdot 2 = 127

oder:

(((((((((((1 + 0,5) \cdot 2) + 0,5) \cdot 2) + 0,5) \cdot 2) + 0,5) \cdot 2) + 0,5) \cdot 2) + 0,5) \cdot 2 = 127

Wahrscheinlich sollt ihr die 2er-Potenz in der Aufgabe erkennen.

. .

2^{5} = 32

2^{6} = 64

2^{7} = 128 < - - - -

2^{8} = 256

2^{9} = 512

. .

keyrs aktiv_icon

13:51 Uhr, 25.11.2013

Gut erklärt :-) allerdings wurde die Kernfrage nicht wirklich beantwortet.
Warum "-1" ?

2^{7} = 128 - 1 = 127

Es ist einfach nur eine Vereinfachung um das Ergebnis darzustellen.
Du könntest es ausrechnen und eine ganz lange Rechnung dort stehen haben.
Also ist

2^{7} - 1 = 127

einfacher und kompakter. Du könntest

z . B

. auch

11^{2} + 6

nehmen.

< -

Blödsinn aber lustig!

Hoffe das hilft dir :-)

Bummerang

14:04 Uhr, 25.11.2013

Hallo keyrs,

"Es ist einfach nur eine Vereinfachung um das Ergebnis darzustellen." Bis dahin kann ich Dir noch halbwegs (siehe nächster Satz) zustimmen, aber die einfachste Vereinfachung wäre da doch einfach

127

hinzuschreiben, die

128 - 1

sind da ja schon wieder eine "Verschwerung". Im übrigen die Darstellung:

2^{7} = 128 - 1 = 127

Unsinn! Es ist

2^{7} = 128

und es ist

128 - 1 = 127,

aber wohl kaum

2^{7} = . .

= 127!

.

"Du könntest es ausrechnen und eine ganz lange Rechnung dort stehen haben."

Das führt auf den Kern der Sache! Multipliziere Rasaphar's letzte Gleichung mal aus, da erhältst Du

64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127

Man erkennt auf der linken Seite eine Partialsumme einer geometrischen Folge mit

q = 2

und

n = 6

. Da kennt man die Formel zur Berechnung:

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{q^{n + 1} - 1}{q - 1}

\sum_{k = 0}^{6} 2^{k} = \frac{2^{6 + 1} - 1}{2 - 1} = \frac{2^{7} - 1}{1} = 2^{7} - 1

"Du könntest

z . B

. auch

11^{2} + 6

nehmen.

Hoffe das hilft dir :-)"

Sehr witzig!!! Und absoluter Unsinn!

keyrs aktiv_icon

14:25 Uhr, 25.11.2013

Yo macht Sinn :-D) habe ich nicht gesehen xD! sorry~

Christian09 aktiv_icon

14:53 Uhr, 25.11.2013

Naja, du rechnest zurück.

1 bleibt nach dem sechsten Durchgang übrig.

Davor waren es also

1

3 = (1 + 0,5) \cdot 2

7 = (3 + 0,5) + \cdot 2

15 = (7 + 0,5) \cdot 2

31 = (15 + 0,5) \cdot 2

63 = (31,5 + 0,5) \cdot 2

127 = (63,5 + 0,5) \cdot 2

Das ist die rekursive Folge

a_{n} = (n + 0,5) \cdot 2

Oder kürzer

2 n + 1

Diese beruht immer auf den Vorgänger.

Wenn du die Folge mal 6 Schritte durchgehst, aber mit der 1 beginnst, weil das sein Abschluss beim zählen war und du nun zurückrechnest, dann erkennst du, dass die jeweiligen folgeglieder immer die zweier Potenz

- 1

ist.

Dadurch kannst du die explizite Folge

a_{n} = 2^{n} - 1

aufstellen und erhältst somit jedes Folgenglied direkt. Du musst nicht mehr jedes einzelne Glied berechnen.

infinityx aktiv_icon

10:53 Uhr, 27.11.2013

Erstmal vielen Danke für die ganzen Antworten!
Aber eine Sache aus all den Antworten kann ich nicht ganz nachvollziehen:
@Rasaphar, @ Christian09:
Wieso "

\cdot 2

Bummerang

11:05 Uhr, 27.11.2013

Hallo,

"Wieso

' \cdot 2'

?" - Lies Dir bitte die Aufgabenstellung noch einmal genau durch, dort wird von den

127

Schafen ausgegangen und in jedem Schritt die Anzahl

. .

. bis man nach 6 Schritten nur noch 1 hatte.
Die beiden angesprochenen sind von der 1 gestartet und nach 6 Schritten auf die

127

gekommen. Was wird denn bei dieser Wegumkehrung aus

. .

. ?

infinityx aktiv_icon

11:30 Uhr, 27.11.2013

Durch das halbieren und wiederum verdoppeln hätte man ja ein ganzes scharf daraus, meinst du das etwa?

Bummerang

11:40 Uhr, 27.11.2013

Hallo,

"Durch das halbieren und wiederum verdoppeln hätte man ja ein ganzes scharf daraus, meinst du das etwa?" - Etwa, das kann man gerade noch gelten lassen! Wenn man in der einen Richtung alles halbiert, muss man in die andere Richtung alles verdoppeln!

infinityx aktiv_icon

11:45 Uhr, 27.11.2013

Yow macht Sinn, danke dir!

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