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Anzahl der Teilmengen berechnen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ergebnismengen, Teilmengen, Wahrscheinlichkeit

 
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determin

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12:20 Uhr, 06.09.2009

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Hallo
Hab hier eine Aufgabe die ich nicht verstehe. Eine Ausführliche Erklärung wäre sehr nett.

"Wie viele Teilmengen haben jeweils diese Ergebnismengen?

S=(a,b,c)
S=(a,b)
S=(a)
S=()
Ich weiß, dass da jeweisl 2∧n rauskommt, also beim ersten z.B. 2∧3, aber wieso in Gottes namen ist das so???

Dankesehr :-)
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Antwort
Sams83

Sams83 aktiv_icon

12:37 Uhr, 06.09.2009

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Hallo,
Teilmengen sind alle Mengen, die Du mit Elementen aus der gegebenen Menge bilden kannst.

Dazu gehört auch jeweils die leere Menge und die Menge selber.

Bei der ersten hast Du also:

Teilmengen
(),(a),(b),(c),(a,b),(a,c),(b,c),(a,b,c)
Insgesamt also 8 Teilmengen. wie Du schon ganz richtig beschrieben hast.
Gibt's Fragen dazu?

Den Rest bekommst Du dann wohl selber hin, oder?
determin

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12:43 Uhr, 06.09.2009

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AHAAA!!!
Jetzt macht das schon viel viel mehr Sinn ∧ Danke danke!
Also wie ich das jetzt abzähle habe ich perfekt verstanden, vielen Dank noch mal, aber:

Wieso 2∧n? Also wieso immer die 2? Muss sich diese Zahl nicht auch immer ändern? Ich meine, ich finde das irgendwie paradox: Ich kann z.B.:S=(a,b,c,d,e,f,g) haben und schreibe trotzdem 2∧7. Wieso immer, aber wirklich immer die 2?
Antwort
Sams83

Sams83 aktiv_icon

13:14 Uhr, 06.09.2009

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Wahrscheinlich kennst Du das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht. Ich versuche es mal in Kurzform zu erklären, denn damit kann man den Beweis recht gut durchführen.

Schritt 1) Man nimmt an, dass eine Behauptung für n gilt.
Schritt 2) Man zeigt, dass die Behauptung für einen Anfangswert, z.b. n=0 gilt.
Schritt 3) Man zeigt, dass die Behauptung für n+1 gilt, wenn sie für n gilt.

Damit weiß man dann:
1. Sie gilt für n=0
2. Man hat gezeigt, dass sie für n+1 gilt, wenn sie für n gilt, also gilt sie auch für n=1
3. Da sie für n+1 gilt, und für n=1, gilt sie auch für n=2.
4. Da sie für n+1 gilt, und für n=2, gilt sie dann wiederum auch für n=3

usw.
Schritt 4) Also gültig für alle n.


Das ist das allgemeine Prinzip, nun also zu Deinem Beweis:

In Deinem Fall ist n die Anzahl der Elemente in der Menge.
Schritt 1) Man nimmt an, dass die Anzahl der Teilmengen 2n ist.
Schritt 2) Für den Anfangswert n=0 hat man nur eine Teilmenge, nämlich die leere Menge. Die Behauptung ist also für n=0 erfüllt: Anzahl 20=1

Schritt 3) Wir nehmen an, dass man 2n Teilmengen hat, wenn man n Elemente in der Menge hat. Kommt nun ein Element hinzu, hat man als Teilmengen alle "alten" Teilmengen plus die neuen, die mit dem neuen Element gebildet werden. Diese neuen Teilmengen sind aber genau die alten Teilmengen, bei denen jeweils das neue Element hinzugefügt wird. Insgesamt hat man also die doppelte Anzahl an Teilmengen wie vorher, die alten Teilmengen plus noch einmal genauso viele neue Teilmengen.
Die Gesamtanzahl der Teilmengen ist dann also 2⋅2n, also 2n+1

Schritt 4) Damit haben wir gezeigt, dass die Behauptung auch für n+1 richtig ist. Es gilt also für alle n.



So, das war jetzt vielleicht ein wenig theoretisch, also nochmal am konkreten Beispiel:

Menge (a,b,c)
Teilmengen: (),(a),(b),(c),(a,b),(a,c),(b,c),(a,b,c)
Neue Menge mit einem Element mehr:
Menge (a,b,c,d)
Teilmengen: (),(a),(b),(c),(a,b),(a,c),(b,c),(a,b,c)
Das waren alle alten, jetzt folgen die neuen, das sind jeweils die alten mit dem hinzugefügten neuen Element d:
(d),(a,d),(b,d),(c,d),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),(a,b,c,d)

Also genau doppelt so viele.

Ist es klar geworden?
Frage beantwortet
determin

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13:15 Uhr, 06.09.2009

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Vollständige Induktion kenne ich (Uni-Mathe ist mein Hobby, Schulmathematik hasse ich hingegen xD)

VIEEELEN dank, das hat super geholfen ∧ Jetzt ist es ganz klar

Merci :-)