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Anzahl der Teilmengen und deren Mächtigkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Binomialkoeffizient, Mächtigkeit, Teilmenge
 
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Hallo, ich soll die folgende Aufgabe beweisen. Eigentlich stellt das kein großes Problem dar, da man einfach den Binomialkoeffizienten anpassen kann und somit den Beweis herholen kann. Nur ist das Problem, dass man bei der Aufgabe den Binomialkoeffizienten vergessen soll und mit der folgenden Def. arbeiten soll: "Vergessen wir für einen Moment die Definition des Binomials über die wir in Definition gegeben haben, und definieren das Symbol über als die Anzahl der Teilmengen von der Mächtigkeit wobei für ein ∈ N." Meine Lösungen: Die vorliegende Äquivalenz sagt aus, dass zu jeder Teilmenge mit k-Elementen ein dazugehöriges Komplement mit Elementen gehört. (ii) Die vorliegende Äquivalenz sagt aus, dass die n-elementige Menge nur eine n-elementige Teilmenge enthält, welche die Menge selbst ist und somit 1 ergibt (iii) Habe leider nichts dazu gefunden.. (iv) Diese Gleichung gibt die Anzahl der Elemente der Potenzmenge an. Nun habe ich keine Ahnung ob ich da richtig an die Aufgabe ran gegangen bin...ich wüsste sonst nicht wie ich das machen müsste. Ich hoffe ihr könnt mir dabei weiterhelfen.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ich verstehe noch nicht ganz, was eigentlich die Aufgabe ist. Aber zu iii kann man sagen: die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n+1-elementigen Menge ist die Summe aus der Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge und der Anzahl der k-1-elementigen Teilmengen einer n+1-Elementigen Menge. Und das kann sogar recht einfach beweisen: wir können Elemente der n+1-elementigen Menge durchnummerieren, 1 bis n+1. Und dann können wir getrennt die k-elementigen Teilmengen der n+1-elementigen Menge betrachten, die das Element Nr 1 enthalten und die k-elementigen Teilmengen, die das Element Nr 1 nicht enthalten. Von den ersten gibt es genau n über k-1, denn wenn wir das Element Nr 1 außer Acht lassen, können wir diese Teilmengen als k-1-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge ansehen. Von den zweiten gibt es n über k, denn 1 ist nicht drin, also geht es um Teilmengen einer n-elementigen Menge. Leider ist es sehr umständlich mit Wörtern zu beschreiben, obwohl der Sachverhalt einfach ist. |
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