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Anzahl der Untervektorräume

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

FabianVu aktiv_icon

18:06 Uhr, 17.12.2015

Moin!

Ich hab folgende Aufgabe:

Sei

p

eine Primzahl. Wie viele Untervektorräume besitzt

Z_{p}^{2}

als Vektorraum über

Z_{p}

?

Ich hab erstmal alle Untervekttoräume von

Z_{2}^{2}, Z_{3}^{2}, Z_{5}^{2}

und

Z_{7}^{2},

um zu gucken, ob sich eine Struktur ergibt. Mir fällt dabei folgendes auf:

Die Anzahl

n

der Untervektorräume ist immer:

n = \frac{p^{2} - 1}{p - 1} + 2 = p + 3

Dies gilt es zu zeigen letzlich.

Dabei sind noch andere Sachen aufgefallen, die ich allgemein zeigen wollte, um daraus die Lösung für

n

schlussfolgern zu können.

Also Fakt ist, dass

Z_{p}^{2}

und

{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}

Untervektorräume in

Z_{p}^{2}

sind. Davon kommt die

+ 2

in der obigen Formel für

n

Z_{p}

hat

p

Elemente,

Z_{p}^{2}

hat

p^{2}

Elemente, was klar ist. Klar ist auch dass

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

in jedem Untervekttoraum ist laut den Axiomen für Untervekttoräume, da es der "Nullvektor" ist.

Dann wollte ich zeigen, dass jedes von

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

verschiedene Vektor nur in 2 Untervektorräumen von vorhanden ist (nämlich

Z_{p}^{2}

und einem weiteren). Soweit so gut. Um dies zu beweisen, muss ich zudem folgendes beweisen:

Jeder von

Z_{p}^{2}

und

{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}

hat

p

Elemente.

DOCH HIERBEI TUHE ICH MICH ETWAS schwer.

Sind alle diese Sachen gezeigt, kann man dann schlussfolgern:

Anzahl der von

Z_{p}^{2}

und

{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}

verschiedenen Vektorräume ist

\frac{p^{2} - 1}{p - 1}

.

Begründung:

Z_{p}^{2}

hat

p^{2}

Elemente. Man beachte mal

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

nicht, da es in jedem Untervektorraum vorhanden ist. Also dann

p^{2} - 1 :

Die Anzahl der Vektoren in

Z_{p}^{2},

die nur in 2 Untervektorräume sind. . Wir wissen nun, dass jeder von

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

verschiedene Vektor nur in

Z_{p}^{2}

und einem weiteren Untervektorraum und nicht mehr ist. Ausserdem ist die Anzahl der Vektoren in

U

ungleich

Z_{p}^{2}

und ungleich

{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}

gleich

p

. Auch hier wird

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

nicht beachtet. Daher

p - 1

.

Daraus folgt dann die Anzahl der von

Z_{p}^{2}

und

{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}

verschiedenen Vektorräume gleich

\frac{p^{2} - 1}{p - 1}

. Das ganze dann noch plus 2 und dann ergibt sich die Lösung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

FabianVu aktiv_icon

18:08 Uhr, 17.12.2015

Edit: Statt "Jeder von

Z_{p}^{2}

und

{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}

hat

p

Elemente."

Meinte ich: "Jeder von

Z_{p}^{2}

und

{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}

verschiedenener Untervektorraum hat

p

Elemente."

ledum aktiv_icon

21:52 Uhr, 17.12.2015

was meinst du mit

p

"Elementen"
etwa im UVR

{{(1,0)}^{T}}

die Elemente

(1,0), n \cdot (1,0)

mit

n = 2

bis

p - 1

?
du kannst als Basis aller der VR ja

(1,0)

und

(0,1)

wählen wieviele nicht kolineare Vektoren kannst du damit durch Linearkombination Herstellen, das sind dann alle deine UVR
dass jedes Element nur in einem

1 d

Unterraum und ganz

ℤ^{2}

vorkommt ist wegen der Dimension klar.
damit ist jeder UVR durch einen Vektor und seine Vielfachen in

ℤ_{p}

bestimmt also insgesamt

p

einschließlich 0 Vektor

r

ist auch leicht zu zeigen, also ist wohl auch deine Methode ok.
Gruß ledum

FabianVu aktiv_icon

22:03 Uhr, 17.12.2015

Mit Elementen meinte ich die Anzahl der Vektoren. Also sagen wir mal der Vektorraum ist

Z_{5}^{2}

und wir wählen einen Untervekttoraum, der nicht

Z_{5}^{2}

und nicht der triviale Untervektorraum ist, dann hat dieser Untervektoraum insgesamt 5 Vektoren.

Hmm die Frage ist, wie man soetwas genauer beweist.

Meine Idee wäre es zu zeigen, dass die Vektoren in einem solchen Untervektorraum linear abhängig sind, da sie in diesem Vektorraum Vielfache voneinander sind. Ergänzt man den Untervektorraum um einen weiteren Vektorraum, der von den anderne Vektoren linear unabhängig ist, dann erzeugt man damit wiederum

Z_{p}^{2}

ledum aktiv_icon

23:26 Uhr, 17.12.2015

Hallo
genau was du jetzt sagst wollte ich sagen,

ℤ_{p}^{2}

ist

2 d,

alle UVR, die nicht der VR selbst sind sind

1 d,

enthalten also nur die

p

Vielfachen des einen Span, bzw Basisvektors. fertig.
Gruß ledum

FabianVu aktiv_icon

15:26 Uhr, 20.12.2015

Alles klar! Danke schön!

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