Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Anzahl der Verbindungsgeraden

Anzahl der Verbindungsgeraden

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstig

mueschbrot aktiv_icon

17:33 Uhr, 13.10.2016

Guten Abend :-)

In Der Uni beschäftigen wir uns momentan mit Geometrie und ich habe hier eine Aufgabe, die lautet "Gegeben sind

n

allgemein liegende Punkte. Wv Verbindungsgeraden haben diese

n

Punkte?"
Gegeben ist uns dafür auch die Lösung, wir sollen hier allerdings den Lösungsweg aufzeigen.

\frac{n \cdot (n - 1)}{2}

Das ganze soll auch noch mittels Induktion bewiesen werden.
Mir fällt es super schwer einen Lösungsweg zu finden. Es handelt sich hierbei ja um Kombinatorik. An der Stelle bräuchte ich evtl. einen Denkanstoß.

Zum Beweis:

\frac{n \cdot (n - 1)}{2}

IA:

\frac{2 \cdot (2 - 1)}{2} = 1 W . A

.
IV:

\frac{k \cdot (k - 1)}{2}

IB:

\frac{(k + 1) \cdot (k + 1 - 1)}{2}

IBew: Hier fällt mir auf, dass die IV

\frac{k \cdot (k - 1)}{2} = (\frac{k!}{2!})

ist und das im Grunde nichts anderes ist als

(\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix}) < -

da will ich also hin. :-)

Nun zur IB:

\frac{(k + 1) \cdot (k + 1 - 1)}{2} = \frac{k^{2} + k - k + k + 1 - 1}{2} = \frac{k^{2} - k + 2 k}{2} = (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix}) + \frac{2 k}{2} = (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix}) + k

(Entspricht das nicht eigentlich auch der Gaußschen Summenformel?

\frac{n \cdot (n + 1)}{2})

Hier fehlt mir jetzt noch eine Schlussfolgerung... also praktisch der Knackpunkt von dem Beweis. Ich weiß aber leider nicht, wie ich das Begründen soll. Dachte erst, dass es sich hierbei um eine Summenformel handelt... aber leider gilt hier

S_{n + 1} = a_{n} + S_{n}

Ich danke euch für eure Antworten :-)

Liebe Grüße
Mueschbrot

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

18:25 Uhr, 13.10.2016

Von jedem der

n

Punkte kann ich

n - 1

Verbindungen zu den anderen Punkten zeichnen.
Wenn man nun daher

n \cdot (n - 1)

rechnet, hat man jede Verbindungsgerade doppelt gezählt und muss diesen Wert daher halbieren.
Diese Überlegung (es geht im Grunde um eine Kombination ohne Wiederholung von 2 Elementen aus eine Menge von

n

und natürlich ist der Ausdruck der Binomialkoeffizient

(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}))

bedarf aber keines Induktionsbeweises mehr.

Wenn du die vorgegebene Formel per Induktion beweisen wolltest, fehlt mit aber in deinen Ausführungen die Aussage, dass beim Schritt von

n

auf

n + 1

Punkten genau

n

neue Verbindungsstrecken hinzukommen. Damit müsstest du nun unter der Annahme, dass

A n z a h l (n) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

gilt, zeigen, dass

A n z a h l (n + 1) = A n z a h l (n) + n = ... . . = \frac{(n + 1) \cdot n}{2}

ist. Das sollte recht schnell gelingen.

R

ermanus aktiv_icon

18:29 Uhr, 13.10.2016

Hallo mueschbrot,
wenn Du vorausetzt, Du hättest schon bewiesen, dass
bei

n

Punkten die Anzahl der Verbindungsgeraden =

\frac{n (n - 1)}{2}

ist,
so nimm jetzt einen weiteren Punkt hinzu (Punkt Nr.:

n + 1

).
Nun verbindest Du diesen mit den bereits vorhandenen

n

Punkten. Dadurch bekommst Du

n

weitere Verbindungsgeraden, Du hast nun also

\frac{n (n - 1)}{2} + n = \frac{n^{2} - n}{2} + \frac{2 n}{2} = \frac{n^{2} + n}{2} = \frac{(n + 1) n}{2}

Geraden und das ist doch Dein Induktionsschluss-Ergebnis.

Warum das alles so ist, hat Dir gerade Roman-22 erklärt.

Gruß ermanus

mueschbrot aktiv_icon

19:00 Uhr, 13.10.2016

Anzahl

(n + 1) =

Anzahl

(n) + n

= \frac{(n + 1) \cdot (n + 1 - 1)}{2} = \frac{n^{2} + n - n + n + 1 - 1}{2} = \frac{n^{2} - n}{2} + \frac{2 n}{2} = \frac{n \cdot (n - 1)}{2} + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

So?
Kann ich denn einfach behaupten, dass die Anzahl(n+1)=Anzahl(n)+n ist? Oder reicht es wenn ich so begründe, dass eben mit jedem

n + 1

Punkt

n

Verbindungen entstehen? Mich macht das ein wenig wuschig, dass es so ähnlich wie die Summenformel ist, aber dann doch anders funktioniert...

Liebe Grüße
Mueschbrot

Roman-22

01:36 Uhr, 14.10.2016

>

So?
Nein, so:

A n z a h l (n + 1) = A n z a h l (n) + n = (⋆)

Jetzt wird die IV benutzt

(⋆) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2} + n = ... = (⋆ ⋆)

und das Ziel ist, jetzt durch Umformungen auf

(⋆ ⋆) = \frac{(n + 1) \cdot n}{2}

zu kommen, wodurch der Beweis geführt wäre.

>

Kann ich denn einfach behaupten, dass die Anzahl(n+1)=Anzahl(n)+n ist?
Nein, das sollte schon begründet sein.

>

Oder reicht es wenn ich so begründe, dass eben mit jedem

n + 1

Punkt

n

Verbindungen entstehen?
Kommt drauf an, wie du es begründest. Aber das ist ja hier wie vorhin bereits ausgeführt sehr leicht, wenn du argumentierst, dass der neue, zusätzliche (von allen bisherigen verschiedene!) Punkt mit jedem der bisher vorhandenen

n

Punkte verbunden werden kann und somit für

n

neue, zusätzliche Verbindungsstrecken verantwortlich zeichnet.

Wie schon in meiner ersten Antwort geschrieben, lässt sich die Formel

A n z a h l (n) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2} = (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})

ja ganz rasch direkt herleiten/begründen und bedarf keines weiteren Induktionsbeweises. Dieser wäre nur nötig, wenn die Formel ohne Beweis vom Himmel fiele

(=

in der Angabe vorgegeben wurde) und jetzt eben laut Angabe unbedingt zur Einübung der vollständigen Induktion mit ebendieser zu beweisen ist.

R

mueschbrot aktiv_icon

14:45 Uhr, 15.10.2016

(⋆) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2} + n

Das muss natürlich auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden deswegen erweitere ich mit

\frac{2}{2}

(⋆) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2} + \frac{2 n}{2}

= \frac{n \cdot (n - 1) + 2 n}{2}

= \frac{n^{2} - n + 2 n}{2}

= \frac{n^{2} + n}{2}

= \frac{n \cdot (n + 1)}{2} = (⋆ ⋆)

Das müsste dann jetzt aber stimmen oder?

Zu den anderen beiden Fragen, die ich gestellt habe: Okay, danke :-) Dann weiß ich jetzt, wie ich das in der Hausaufgabe begründen kann.

Liebe Grüße
Mueschbrot

Roman-22

18:40 Uhr, 15.10.2016

>

Das müsste dann jetzt aber stimmen oder?
Ja, tut es!

mueschbrot aktiv_icon

20:18 Uhr, 19.10.2016

Verzeihung für die späte Rückmeldung. Ich danke dir und ermanus sehr für die Hilfe! :-) Mir mangelte es anfänglich sehr an der Vorstellung. Das habe ich jetzt aber auf die Reihe bekommen und verstanden. Der Beweis ist jetzt glücklicherweise auch richtig rum. Danke dafür! :-)

Liebe Grüße
Mueschbrot

1329046

1327563

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?