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Anzahl eindimensionaler Untervektorräume in K-VR

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Eindimensional, Untervektorräume

JoL-88 aktiv_icon

18:55 Uhr, 11.11.2009

Soooo und wieder ne neue Frage:
Ich habe gegeben einen Körper

K

mit einer endlichen Elementzahl=:q
Ich soll nun für

q = 2, q = 3

und beliebiges

q

die ahnzahl aller eindimensionaler Vektorräume in K²
angeben.

Als Beispiel für

q = 2

erhalten wir folgende Elemente:

u = (1,0)

v = (0,1)

w = (1,1)

o = (o, o)

Damit sieht man leicht

u, v

und

w

ergeben als Basis jeweils einen eindimensionalen Unterraum. Der raum der durch

o

aufgespannt würde wär automatisch Nulldimensional.
Soweit ganz leicht.

FRAGE: Wie funktionbiert das alles nun für beliebiges q?
Ich komme da auf kein sinnvolles bildungsgesetz.

Liebe Grüße und danke schonmal.

hagman aktiv_icon

11:28 Uhr, 12.11.2009

Genauso.
Jeder der

q^{2} - 1

von 0 verschiedenen Vektoren

v \in K^{2}

erzeugt einen eindimensionalen Unterraum

U = K v \subset K^{2}

. Allerdings erwischt man jeden solchen Unterraum

q - 1

Mal, da jeder von 0 verschiedene Vektor in

U

als Basisvektor genommen werden kann.

\frac{q^{2} - 1}{q - 1} = q + 1

JoL-88 aktiv_icon

16:33 Uhr, 12.11.2009

Ok danke schonmal wir haben durch nachrechnen

auch schonmal gesehen das das super hinkommt und die Gleichung ist uns auch klar.

Wir haben nurnoch eine Frage:

Wie funktioniert das ganze für einen Raum K³ anstelle von K²?

Vielen Dank schonmal wieder :-)

JoL-88 aktiv_icon

18:07 Uhr, 12.11.2009

Ui ne dankeschön das funktioniert ja ebenfalls absolut

analog. Vielen Dank für die Hilfe.

Lg

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