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Anzahl möglicher Lösungen

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

 
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Nintendo

Nintendo aktiv_icon

10:49 Uhr, 14.06.2019

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Hallo zusammen :-)

Für die folgenden Ungleichungen suche ich nach der Anzahl aller möglichen Lösungen (also Kombinationen der Variablen a,b und c):

Die Ungleichung soll z.B. wie folgt aussehen:

a+b+c≤10
a≤5
b≤10
c≤5

Welche Techniken aus der Kombinatorik sollte man dazu verwenden? Ich habe Ingenieurswesen studiert, aber das letzte Mal war in der Schule als ich etwas mit Kombinatorik zu tun gehabt habe...

Bitte um Ideen und Tipps :-)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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HAL9000

HAL9000

10:57 Uhr, 14.06.2019

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Zunächst fehlt noch eine Information zum Definitionsbereich der Variablen a,b,c:

Wenn das z.B. die reellen Zahlen sind, aber auch wenn es die ganzen Zahlen sind, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Ich nehme daher an, es sind nichtnegativ ganze oder sogar positiv ganze Zahlen gemeint, oder?
Nintendo

Nintendo aktiv_icon

11:15 Uhr, 14.06.2019

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Stimmt, habe den Definitionsbereich nicht angegeben.

Es handelt sich bei den Variablen um positive ganze Zahlen.
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HAL9000

HAL9000

15:17 Uhr, 14.06.2019

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Positiv also, d.h. a≥1,b≥1,c≥1.


Zentrales Element der Anzahlbestimmung ist diese alternative Interpretation

de.wikipedia.org/wiki/Kombination_(Kombinatorik)#Mengendarstellung_2

D.h. für gegebene n,k ist die Anzahl nichtnegativ ganzzahliger Tupel (x1,…,xn) mit x1+…+xn=k gleich der Anzahl n+k-1k=n+k-1n-1 von Kombinationen mit Wiederholung von k aus n Elementen. (*)


Im vorliegenden Fall nutzt man das folgendermaßen. Man definiert zunächst

Ω ... Menge aller Tripel (a,b,c) positiver ganzer Zahlen mit a+b+c≤10

A ... Menge aller Tripel aus Ω mit a≥6

C ... Menge aller Tripel aus Ω mit c≥6

dann ist die gesuchte Anzahl hier N:=∣Ω\(A∪C)∣=∣Ω∣-∣A∪C∣=∣Ω∣-∣A∣-∣C∣, letzteres weil A∩C=∅ (es können nicht beide a,c zugleich mindestens 6 sein).

Nun ist ∣Ω∣=4+7-17=103=120, Erklärung:

Die Anzahl der Tripel entspricht der Anzahl der Quadrupel (x1,x2,x3,x4) mit x1+x2+x3+x4=7, denn man setzt da x1=a-1,x2=b-1,x3=c-1 und "Schlupfvariable" x4, sämtlich nichtnegativ ganzzahlig, womit sich (*) anwenden lässt.


Genauso bei A: Hier arbeitet man wegen a≥6 abgewandelt mit x1=a-6, der Rest x2=b-1,x3=c-1 bleibt, man bestimmt somit die Anzahl aller Quadrupel (x1,x2,x3,x4) mit x1+x2+x3+x4=2, das ist dann

∣A∣=4+2-13=53=10,

und völlig analog auch ∣C∣=10. Das ergibt N=120-10-10=100.


Ersetzt man "positiv" durch "nichtnegativ" (d.h. lässt auch 0 zu bei a,b,c), dann erhöht sich die Anzahl signifikant auf N=133-273=286-2⋅35=216.
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