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Anzahl "über Eck" gelegter Platten in Rechteck

Schüler Berufsmaturitätsschule, 8. Klassenstufe

Tags: Geometrie

 
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Flylow

Flylow

18:00 Uhr, 07.02.2010

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Aufgabenstellung:
Berechne die Anzahl der benötigten Platten mit Seitenlänge 30cm um das Rechteck zu füllen (Angebrochene Platten zählen als ganze).

Lösungsmenge:
99 Platten

Die Berechnung der Diagonale ist klar: 30cm ⋅ sqr2 = 42.42cm

Wenn ich nun Länge und Breite durch die Diagonale teile erhalte ich 9.2 und 4.2 Platten. Da diese als ganze zählen sind es also 10 und 5 was bekanntlich 50 ergibt.

Damit habe ich jedoch erst die Hälfte der Platten berechnet es kommen also nochmals 50 dazu was 100 Platten macht. Die Differenz zur Lösungsmenge erkläre ich mir durch die obere, rechte Ecke an welcher es anscheinend keine angeschnittene Platte wie in den anderen drei Ecken gibt.

Dies ist für mich etwas vage - daher wäre ich froh wenn mir jemand einen begründeten Lösungsansatz aufzeigen kann.

Vielen Dank

Unbenannt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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hagman

hagman aktiv_icon

13:34 Uhr, 08.02.2010

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Du füllst das Rechteck von unten nach oben abwechselnd mit zweierlei Reihen:
Einerseits solche, bei denen das linke Quadrat mit einer Ecke an die linke Kante stößt, andererseits soclhe, bei denen links ein halbiertes Quadrat steht.
Da 39030⋅2≈9,19 ist, braucht eine Reihe der ersten Art 9 ganze Platten und eine zehnte angebrochene (allerdings weit weniger als die Hälfte davon).
Eine Reihe der zweiten Art braucht eine halbe, 8 ganze und eine 0,69-Platte.
Insgesamt werden wegen 18030⋅2≈4,24 dann 4 ganze Reihen der ersten Art und noch eine 0,24-Anteils-Reihe gebraucht sowie von der zweiten Art eine halbe (ganz unten), 3 ganze und ein 0,74-Anteil einer Reihe.

Jetzt kommt es darauf an.
Wenn man beim Zerschneiden der Platten jedesmal den Rest wegwirft, muss man an jeder Stelle aufrunden:
5 Reihen der ersten Art mit je 10 Platten und 5 Reihen der zweiten Art mit je 10 Platten, macht 100 Platten insgesamt.

Insbesondere wenn die Platten keine Musterung aufweisen (also auch gedreht werden dürfen) und wir den Wegschnitt wiederzuverwerten versuchen, kommen wir auf folgendes:
Zunächst werden 4⋅9+3⋅8=60 ganze Platten gebraucht.
Zusätzlich noch 3 halbe und 8 halbe =11 halbe Platten, die aus 6 Platten herstellbar sind.
Ferner 4 Stück 0,38-Platten, herstellbar aus 2 Platten.
Ferner 3 Stück 0,884-Platten, das braucht wohl auch 3 ganze Platten.
Ferner 9 Stück 0,24-Platten und 8 Stück 0,74-Platten und eine anteilige 0,74-Platte. Die kann man aus 9 Platten machen.
Wenn mich nicht alles täuscht, fehlen jetzt nur ein paar Eckstücke aus einer Platte, wofür die oben noch übrig gebliebene halbe Platte leider nicht ausreicht(?)
.
Das wären dann zusammen 60+6+2+3+9+1 Platten =81 Platten, aber die genaue Puzzlearbeit, welche Teile man zusammen aus einer Platte gewinnen kann, sollte man lieber anhand einer Skizze machen.