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Anzahl von Möglichkeiten berechnen
Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe
Tags: möglichkeit, Stochastik
 
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Hallo, ich habe eine seltsame Aufgabe von einem Bekannten bekommen, kann sie jedoch mathematisch nicht lösen, nur durch ausprobieren. Nun würde mich aber interessieren, ob ich das nicht schneller mithilfe eines mathematischen Ansatzes lösen kann :-) Aufgabe: Gegeben ist ein Stab mit drei Zweigen. An diese Zweige können zwei Eimer, die mit einem gekennzeichnet sind und ein Eimer, die mit einem gekennzeichnet ist, gehängt werden. Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, die Eimer an die drei Zweige zu hängen? Achtung: Der Stab kann vertikal gedreht werden, sodass . die Anordnungen (von oben nach unten): mit der Anordnung identisch ist! Diese durch vertikale Drehung entstandenen identischen Möglichkeiten sollen nicht dazugezählt werden! (Siehe Skizze) Durch Ausprobieren komme ich auf folgende 6 Möglichkeiten: 1. Möglichkeit: 1. Zweig: 2. Zweig: 3. Zweig: 2. Möglichkeit: 1. Zweig: 2. Zweig: 3. Zweig: 3. Möglichkeit: 1. Zweig: 2. Zweig: 3. Zweig: 4. Möglichkeit: 1. Zweig: 2. Zweig: 3. Zweig: 5. Möglichkeit: 1. Zweig: 2. Zweig: 3. Zweig: 6. Möglichkeit: 1. Zweig: 2. Zweig: 3. Zweig: Nun meine Frage: Kann man diese Aufgabe mathematisch lösen (also . mithilfe einer Formel?) Vielen Dank für eure Hilfe :-) Liebe Grüße Sonja  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, eigentlich hast du nicht ausprobiert sondern konsequent die Möglichkeiten abgezählt und dabei die doppelten symmetrischen Fälle nur einmal gezählt. Das war eine richtige Methode um die Aufgabe zu lösen. Ich hätte es genauso gemacht. Die Ermittlung und vor allem die Anwendung einer irgendwie gearteten Formel wäre wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen. Gruß pivot |
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Ok, vielen lieben Dank :-) |
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Gerne. Freut mich, dass es geklappt hat. |
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Hast du nicht geschrieben, dass es zwei P-Eimer und ein S-Eimer ist? Wie kann dann PPP oder SSP auftreten? Mit und gibts nur zwei Möglichkeiten. Entweder ist am Rand oder in der Mitte. |
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> Die Ermittlung und vor allem die Anwendung einer irgendwie gearteten Formel wäre wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen. In diesem Fall ja. Aber sagen wir mal, es sind allgemein Zweige und verschiedene Eimer, dann sieht es schon anders aus... Für solche Fälle gibt es das Lemma von Burnside ( de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Burnside ) : Im vorliegenden Fall besteht die Bewegungsgruppe nur aus zwei Elementen "original" (o) und "umgedreht" (u). Dann sind und , insgesamt ist gemäß Burnsidelemma dann die Anzahl der Möglichkeiten gleich Für kommt mit natürlich das erwartete Resultat heraus (wenn die P- und S-Eimerzahl nicht vorher festgelegt werden). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Oder bleiben wir bei zwei Eimertypen, diesmal aber mit festgelegter Anzahl der Typen: Bei insgesamt Zweigen mit genau S-Eimern und genau P-Eimern gilt für die Anzahl gemäß Burnside - falls gerade und ungerade: - sonst: Im Fall ergibt das . |
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