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Anzahl von Primzahlen mit Modulo
Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie
 
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Hallo, ich soll folgendes rausfinden: Wieviele Primzahlen gibt es mit Zu Es gibt keine Primzahl die der Bedingung genügt, denn sonst wäre sie durch 4 teilbar. 4 selber ist keine Primzahl. Ich muss rausfinden, wie viele Primzahlen es gibt, sodass durch 4 teilbar ist. erfüllt die Bedingung. Aber sonst keine andere Zahl, denn ist dann ungerade, also auch . Und keine ungerade Zahl ist durch 4 teilbar. Passt das so? Dann gibt es noch . Als Tipp ist angegeben, dass man zeigen soll, dass jedes dass erfüllt, schon einen Primteiler besitzt, der ebenfalls die Kongruenz erfüllt. Zu Wie kann ich den Tip zeigen und was bringt er mir? Also erfülle dann ist durch 4 teilbar, also ist gerade und somit ungerade. Ist eine Primzahl, so sind wir fertig und der Tip ist gezeigt. Aber wenn keine Primzhal ist? Liebe Grüße Sabine Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ist mod 4 und KEINE Primzahl, so ist sie ja ein Produkt, d.h. . Keiner der Faktoren kann kongruent 0 oder 2 mod 4 sein, weil diese Zahl dann insbesondere gerade wäre und damit auch . Widerspruch zu mod 4. Damit müssen mod 4 sein. Diese Fallunterscheidung musst du eben abarbeiten. Was ist damit erreicht? Wenn es nur endlich viele Primzahlen der Form gäbe, dann... Und nun du! Mfg Michael |
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Die ungeraden natürlichen Zahlen lassen bei Teilung durch 4 nur den Rest 1 oder den Rest 3. Eine ungerade Zahl besitzt nur ungerade Primfaktoren. Wären alle Primfaktoren von kongruent zu 1 nach dem Modul dann müsste als Produkt all seiner Primfaktoren auch kongruent zu 1 nach dem Modul 4 sein. Zahlen, die kongruent zu 3 nach dem Modul 4 sind, enthalten also auch mindestens einen zu 3 kongruenten Primfaktor. |
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Hi michaL, oaky, aber wieso kann der Fall nicht eintreten und wieso bestehst du auf das ? Ich bin doch in . Oder wieso schreibst du nur dass es nicht sein kann und nicht ? Nagut, weil das das gleiche ist, fällt mir grade auf. Aber was ist denn nun mein Primteiler der die Kongruenz erfüllt? |
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Hallo, ok, es gibt Primzahlen kongruent 3 mod 4 (etwa 3 oder 7...), aber wie viele? Folgender ist ein Weg: Eine (natürliche) Zahl mod 4 ist ja entweder eine Primzahl (hilft erstmal nicht weiter) oder ist eben keine, d.h. sie ist dann zusammengesetzt. Sei also mit natürliche Zahlen. Klar: mod 4 geht nicht, da dann (oBdA) gerade und auch gerade wäre. Also bleiben nur * mod 4, dann wäre aber mod 4. Geht also auch nicht. * mod 4, dann wäre aber mod 4. Geht also auch nicht. * Also bleibt nur (oBdA) mod 4 und mod 4 (oder eben vertauschen). Heißt: Eine zusammengesetzte Zahl mod 4 hat wieder einen Teiler kongruent 3 mod 4. Steige diese (Teiler-)Kette hinab, was zur Aussage führt, eine zusammengesetzte Zahl konkruent 3 mod 4 hat einen Primteiler kongruent 3 mod 4. Wenn jetzt die Anzahl aller Primzahlen kongruent 3 mod 4 endliche wäre, dann... So, und das überlege dir bitte. Mfg Michael |
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Hallo Sabime, der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen mit dem Rest 3 bei Teilung durch 4 gibt, entspricht in den Grundzügen der Beweisidee dem Vorgehen, das auch beim Beweis für "Es gibt unendlich viele Primzahlen" angewendet wird. |
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Hallo ihr zwei, danke euch zweien. Ich habe nun einen Beweis :-) Liebe Grüße! Sabine |
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